设数列an前n项和为Sn,且Sn=2^n -1 数列bn满足b1=2,b(n+1)-2bn=8an证明:数列{bn/2^2}为等差数列,并求bn的通项公式及前n项和Tn本人才疏学浅,麻烦过程清楚一些
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/26 05:17:58
![设数列an前n项和为Sn,且Sn=2^n -1 数列bn满足b1=2,b(n+1)-2bn=8an证明:数列{bn/2^2}为等差数列,并求bn的通项公式及前n项和Tn本人才疏学浅,麻烦过程清楚一些](/uploads/image/z/6751494-54-4.jpg?t=%E8%AE%BE%E6%95%B0%E5%88%97an%E5%89%8Dn%E9%A1%B9%E5%92%8C%E4%B8%BASn%2C%E4%B8%94Sn%3D2%5En+-1+%E6%95%B0%E5%88%97bn%E6%BB%A1%E8%B6%B3b1%3D2%2Cb%EF%BC%88n%2B1%29-2bn%3D8an%E8%AF%81%E6%98%8E%EF%BC%9A%E6%95%B0%E5%88%97%7Bbn%2F2%5E2%7D%E4%B8%BA%E7%AD%89%E5%B7%AE%E6%95%B0%E5%88%97%2C%E5%B9%B6%E6%B1%82bn%E7%9A%84%E9%80%9A%E9%A1%B9%E5%85%AC%E5%BC%8F%E5%8F%8A%E5%89%8Dn%E9%A1%B9%E5%92%8CTn%E6%9C%AC%E4%BA%BA%E6%89%8D%E7%96%8F%E5%AD%A6%E6%B5%85%2C%E9%BA%BB%E7%83%A6%E8%BF%87%E7%A8%8B%E6%B8%85%E6%A5%9A%E4%B8%80%E4%BA%9B)
设数列an前n项和为Sn,且Sn=2^n -1 数列bn满足b1=2,b(n+1)-2bn=8an证明:数列{bn/2^2}为等差数列,并求bn的通项公式及前n项和Tn本人才疏学浅,麻烦过程清楚一些
设数列an前n项和为Sn,且Sn=2^n -1 数列bn满足b1=2,b(n+1)-2bn=8an
证明:数列{bn/2^2}为等差数列,并求bn的通项公式及前n项和Tn
本人才疏学浅,麻烦过程清楚一些
设数列an前n项和为Sn,且Sn=2^n -1 数列bn满足b1=2,b(n+1)-2bn=8an证明:数列{bn/2^2}为等差数列,并求bn的通项公式及前n项和Tn本人才疏学浅,麻烦过程清楚一些
n=1时,a1=S1=2^1 -1=2-1=1
n≥2时,
Sn=2^n -1
Sn-1=2^(n-1) -1
Sn-Sn-1=an=2^n -1-2^(n-1) +1=2^(n-1)
n=1时,a1=2^(1-1)=2^0=1,同样满足.
数列{an}的通项公式为an=2^(n-1)
b(n+1)-2bn=8×2^(n-1)=2^(n+2)
b(n+1)=2bn+2^(n+2)
b(n+1)/2^(n+1)=2bn/2^(n+1)+2^(n+2)/2^(n+1)
b(n+1)/2^(n+1)=bn/2^n +2
[b(n+1)/2^(n+1)]-(bn/2^n)=2,为定值.
b1/2^1=2/2=1
数列{bn/2^n}是以1为首项,2为公差的等差数列.
bn/2^n=1+2(n-1)=2n-1
bn=(2n-1)×2^n
n=1时,b1=(2-1)×2^1=2,同样满足.
数列{bn}的通项公式为bn=(2n-1)×2^n.
Tn=b1+b2+...+bn=1×2^1+3×2^2+5×2^3+...+(2n-1)×2^n
2Tn=1×2^2+3×2^3+...+(2n-3)×2^n+(2n-1)×2^(n+1)
Tn-2Tn=-Tn=2^1+2×2^2+2×2^3+...+2×2^n-(2n-1)×2^(n+1)
=2+2×4×[2^(n-1) -1]/(2-1) -(2n-1)×2^(n+1)
=(3-2n)×2^(n+1)-6
Tn=(2n-3)×2^(n+1) +6.
^表示指数.
n=1时,a1=s1=1;
n>=2时,an=Sn-Sn-1=2^(n-1);
将后边的式子两边同时除以2^(n+1);得到b(n+1)/2^(n+1)-bn/2^n=2;
令bn/2^n=cn;则c(n+1)-cn=2;c1=b1/2=1
cn=c1+(n-1)2=2n-1;
bn=(2n-1)*2^n