直线L过抛物线y方=2px(p>0)的焦点F,且与抛物线交于A,B两点,A,B到准线的射影分别为A`和B`,A`B`的中点M,|FM|=2倍根号6,|AF|=6,则|BF|=?
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/19 13:24:43
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直线L过抛物线y方=2px(p>0)的焦点F,且与抛物线交于A,B两点,A,B到准线的射影分别为A`和B`,A`B`的中点M,|FM|=2倍根号6,|AF|=6,则|BF|=?
直线L过抛物线y方=2px(p>0)的焦点F,且与抛物线交于A,B两点,A,B到准线的射影分别为A`和B`,A`B`的中点M,|FM|=2倍根号6,|AF|=6,则|BF|=?
直线L过抛物线y方=2px(p>0)的焦点F,且与抛物线交于A,B两点,A,B到准线的射影分别为A`和B`,A`B`的中点M,|FM|=2倍根号6,|AF|=6,则|BF|=?
设直线L的斜率为k.
∵给定的抛物线方程是:y^2=2px,∴抛物线的焦点F的坐标是(p/2,0).
∴抛物线的准线是x=-p/2,且直线L的方程是:y=k(x-p/2),即:x=y/k+p/2.
联立:x=y/k+p/2、y^2=2px,消去x,得:y^2=2py/k+p^2,∴y^2-2py/k-p^2=0.
令A、B的纵坐标分别为m、n,则:m、n是方程y^2-2py/k-p^2=0的根,
∴由韦达定理,有:mn=-p^2.
很明显,A′、B′的坐标分别是(-p/2,m)、(-p/2,n).
∴A′F的斜率=(m-0)/(-p/2-p/2)=-m/p,
B′F的斜率=(n-0)/(-p/2-p/2)=-n/p.
∴A′F的斜率×B′F的斜率=mn/p^2=(-p^2)/p^2=-1.
∴A′F⊥B′F,而M是A′B′的中点,∴|A′B′|=2|FM|=4√6.
由抛物线定义,有:|B′B|=|BF|、|A′A|=|AF|=6.
在直角梯形A′B′BA中,A′A⊥A′B′、B′B⊥A′B′,
∴(|A′A|-|B′B|)^2+|A′B′|^2=|AB|^2,
∴(6-|BF|)^2+(4√6)^2=(|AF|+|BF|)^2=(6+|BF|)^2,
∴(6+|BF|)^2-(6-|BF|)^2=(4√6)^2=16×6,
∴[(6+|BF|)+(6-|BF|)][(6+|BF|)-(6-|BF|)]=16×6,
∴12×2|BF|=16×6,
∴|BF|=4.