a,b,c为正实数,证明a2\b+b2\c+c2\a>=a+b+c后面的2是平方我记得那一天算的 3楼分母有问题

a,b,c为正实数,证明a2\b+b2\c+c2\a>=a+b+c后面的2是平方我记得那一天算的 3楼分母有问题
a,b,c为正实数,证明a2\b+b2\c+c2\a>=a+b+c
后面的2是平方
我记得那一天算的 3楼分母有问题

a,b,c为正实数,证明a2\b+b2\c+c2\a>=a+b+c后面的2是平方我记得那一天算的 3楼分母有问题
a2\b+b2\c+c2\a+(a+b+c)
=(a2\b+b)+(b2\c+c)+(c2\a+a)
=(a2+b2)\b+(b2+c2)\c+(c2+a2)\a
因为a,b,c为正实数,(a-b)2>=0 --> a2+b2>=2ab
同理：b2+c2>=2bc c2+a2>=2ac
则：
原式=(a2+b2)\b+(b2+c2)\c+(c2+a2)\a
>=2ab\b+2bc\c+2ca\a=2a+2b+2c
即
a2\b+b2\c+c2\a-(a+b+c)>=2a+2b+2c
所以
a2\b+b2\c+c2\a>=a+b+c

我们假设 a>=b>=c>0，那么，我们来比较：
(b^2/c+c^2/a)-(b^2/a+c^2/c)
将上式移项通分后就有：
(b+c)(b-c)(a-c)/ac
显然在a>=b>=c>0时，上式是>=0的
所以有 (b^2/c+c^2/a)>=(b^2/a+c)
这样
a^2/b+b^2/c+c^2/a>=a^2/b+b^2/a+c

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我们假设 a>=b>=c>0，那么，我们来比较：
(b^2/c+c^2/a)-(b^2/a+c^2/c)
将上式移项通分后就有：
(b+c)(b-c)(a-c)/ac
显然在a>=b>=c>0时，上式是>=0的
所以有 (b^2/c+c^2/a)>=(b^2/a+c)
这样
a^2/b+b^2/c+c^2/a>=a^2/b+b^2/a+c
而a^2/b+b^2/a>=a^2/a+b^2/b=a+b，是很容易证明的，一移项通分就能证明
这样就有了：
a^2/b+b^2/c+c^2/a>=a^2/b+b^2/a+c>=a+b+c
楼上证明的错误在于：
(a2-b2)\b>=(a2-b2)\(a+b+c)
当a2-b2<0呢？同理后面的2个式也是不成立的。

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a2\b-a=(a2-ab)\b=(a2-2ab+b2-b2+ab)\b
=(a-b)2\b+a-b
同理
b2\c-b=(b-c)2\c+b-c
c2\a-c=(c-a)2\a+c-a
所以
a2\b-a + b2\c-b + c2\a-c
=(a-b)2\b+a-b + (b-c)2\c+b-c + (c-a)2\a+c-a
=(...

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a2\b-a=(a2-ab)\b=(a2-2ab+b2-b2+ab)\b
=(a-b)2\b+a-b
同理
b2\c-b=(b-c)2\c+b-c
c2\a-c=(c-a)2\a+c-a
所以
a2\b-a + b2\c-b + c2\a-c
=(a-b)2\b+a-b + (b-c)2\c+b-c + (c-a)2\a+c-a
=(a-b)2\b + (b-c)2\c + (c-a)2\a
因为a,b,c为正实数
所以(a-b)2\b + (b-c)2\c + (c-a)2\a >= 0
即 a2\b-a + b2\c-b + c2\a-c >= 0
即 a2\b+b2\c+c2\a>=a+b+c
得证。
楼主说我第一步错了,是变形过程错误还是结果错误,我没看出来

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原不等式可化为(a2\b-b)+(b2\c-c)+(c2\a-a)>=0
同分为(a2-b2)\b+(b2-c2)\c+(c2-a2)\a>=0
因为a,b,c为正实数，所以(a2-b2)\b>=(a2-b2)\(a+b+c)
同理(b2-c2)\c>=(b2-c2)\(a+b+c),(c2-a2)\a>=(c2-a2)\(a+b+c)
上面三式相加得(a2-b2)...

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原不等式可化为(a2\b-b)+(b2\c-c)+(c2\a-a)>=0
同分为(a2-b2)\b+(b2-c2)\c+(c2-a2)\a>=0
因为a,b,c为正实数，所以(a2-b2)\b>=(a2-b2)\(a+b+c)
同理(b2-c2)\c>=(b2-c2)\(a+b+c),(c2-a2)\a>=(c2-a2)\(a+b+c)
上面三式相加得(a2-b2)\b+(b2-c2)\c+(c2-a2)\a>=0\(a+b+c)=0
所以(a2\b-b)+(b2\c-c)+(c2\a-a)>=0成立
即原不等式得证

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