作业帮若f(x)=4^x-2×2^x+1(x>0)的反函数为f^-1(x),则f^-1(9)=?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/05 13:29:46
若f(x)=4^x-2×2^x+1(x>0)的反函数为f^-1(x),则f^-1(9)=?
若f(x)=4^x-2×2^x+1(x>0)的反函数为f^-1(x),则f^-1(9)=?
若f(x)=4^x-2×2^x+1(x>0)的反函数为f^-1(x),则f^-1(9)=?
反函数的自变量值是原函数的函数值,即f(x)=9
f(x)=4^x-2×2^x+1=9
x=2
原函数的自变量值是反函数的函数值,所以f^-1(9)=2
1.不求出反函数的解析式的情况下
由反函数的定义
令：y=f(x)，那么x=f^-1(y)，即x=f^-1(f(x))
设f(x)=0的根为x=t，即f(t)=0，那么f^-1(0)=f^-1(f(t))=t，因此f^-1(0)即为f(x)=0的根
令f(x)=0，得4^x-2^(x+1)=0，即2^(2x)=2^(x+1)，解得x=1，所以t=1，f^-1(0)=...
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1.不求出反函数的解析式的情况下
由反函数的定义
令：y=f(x)，那么x=f^-1(y)，即x=f^-1(f(x))
设f(x)=0的根为x=t，即f(t)=0，那么f^-1(0)=f^-1(f(t))=t，因此f^-1(0)即为f(x)=0的根
令f(x)=0，得4^x-2^(x+1)=0，即2^(2x)=2^(x+1)，解得x=1，所以t=1，f^-1(0)=1
2.求出反函数的解析式情况下
令y=4^x-2^(x+1)，两边取对数：logy=xlog4-(x+1)log2
logy=2xlog2-(x+1)log2
logy=xlog2-log2
x=(logy+log2)/log2
x=logy(以2为底)+1
函数的反函数：logx(以2为底)+1
所以：f^-1(0)=1
收起
f(x)=4^x-2×2^x+1(x>0)
f(x)=2^2x-2*2^x+1
f(x)=(2^x-1)^2
反函数的自变量值是原函数的函数值，即f(x)=9
即：(2^x-1)^2=9
x=2
∴则f^-1(9)=2
f(x)=2^(2X)-2×2^X+1=(2^X-1)^2
f^-1(X)=㏒2↑(1+√X)
f^-1(9)=㏒2↑4=2。
利用函数的定义域和值域分别是反函数的值域和定义域
可得4^x-2×2^x+1=9所以4^x-2×2^x-8=0
设2^x=t则t^2-2t-8=0
解得t=4或t=-2<0（舍去）
所以2^x=4得x=2
所以f^-1(9)=2