已知A(2,-3),B(-2,0),点c是圆(x-2)²+(y-2)²=r²(r>0)上任意一点,若△ABC面积最大值为15,求半径的值
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/20 18:55:15
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已知A(2,-3),B(-2,0),点c是圆(x-2)²+(y-2)²=r²(r>0)上任意一点,若△ABC面积最大值为15,求半径的值
已知A(2,-3),B(-2,0),点c是圆(x-2)²+(y-2)²=r²(r>0)上任意一点,若△ABC面积最大值为15,求半径的值
已知A(2,-3),B(-2,0),点c是圆(x-2)²+(y-2)²=r²(r>0)上任意一点,若△ABC面积最大值为15,求半径的值
答:
点A(2,-3),点B(-2,0)
点C在圆(x-2)²+(y-2)²=R²上
直线AB斜率k=(-3-0)/(2+2)=-3/4
直线AB:y-0=(-3/4)(x+2),即3x+4y+6=0
AB=√[(-3-0)²+(2+2)²]=5
面积最大15,则点C到AB的距离h最大为:h=15*2/AB=30/5=6
点C为(a,b)在圆上:
(a-2)²+(b-2)²=r²
点C到AB的距离d=|3a+4b+6|/5=6
|3a+4b+6|=30
所以:
3a+4b+6=30或者3a+4b+6=-30
所以:
3a+4b-24=0或者3a+4b+36=0
所以:上述两条直线与圆相切,圆心(2,2)到直线距离d=R
所以:d=|6+8-24|/5=R或者d=|6+8+36|/5=R
解得:R=2或者R=10
设三角形在圆上的点为C,则C一定在过圆心且与AB垂直的直线上。过C作CD⊥AB交AB于D。
∵AB的斜率=(-3-0)/(2+2)=-3/4,∴CD的斜率=4/3。
由给定的圆的方程,得圆心坐标为(2,2),∴CD的方程是y-2=(4/3)(x-2),
即:y=4x/3+2-8/3=4x/3-2/3。∴可设点C的坐标为(m,4m/3-2/3)。
显然,|AB|=√[...
全部展开
设三角形在圆上的点为C,则C一定在过圆心且与AB垂直的直线上。过C作CD⊥AB交AB于D。
∵AB的斜率=(-3-0)/(2+2)=-3/4,∴CD的斜率=4/3。
由给定的圆的方程,得圆心坐标为(2,2),∴CD的方程是y-2=(4/3)(x-2),
即:y=4x/3+2-8/3=4x/3-2/3。∴可设点C的坐标为(m,4m/3-2/3)。
显然,|AB|=√[(2+2)^2+(-3-0)^2]=√(16+9)=5,
又△ABC的面积=(1/2)|AB||CD|=(5/2)|CD|=15,∴|CD|=6。
而AB的方程是y=-(3/4)(x+2),3x+4y+6=0。
由点到直线的距离公式,有:|CD|=|3m+4(4m/3-2/3)+6|/√(9+16),
∴|3m+4(4m/3-2/3)+6|/√(9+16)=6,∴|3m+4(4m/3-2/3)+6|=30,
∴|9m+16m-8+18|=90,∴|25m+10|=90,
∴25m+10=90,或25m+10=-90,∴m=80/25=16/5,或m=-100/25=-4。
一、当m=16/5时,4m/3-2/3=64/15-10/15=54/15=18/5。
∴此时点C的坐标为(16/5,18/5)。
∵C在圆上,∴r^2=(16/5-2)^2+(18/5-2)^2=36/25+64/25=100/25=4,
∴r=2。
二、当m=-4时,4m/3-2/3=-16/3-2/3=-18/3=-6。
∴此时点C的坐标为(-4,-6)。
∵C在圆上,∴r^2=(-4-2)^2+(-6-2)^2=36+64=100,∴r=10。
综上一、二所述,满足条件的r的值为 2 或 10。
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