线性代数中的正交矩阵4设向量a=(4 2 2),b=(2 4 2 )c=(2 2 4)A是由向量a,b,c组成的矩阵,试求一个正交矩阵V,使得V的逆矩阵乘以矩阵A再乘以V是对角矩阵

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/03/29 12:52:29
线性代数中的正交矩阵4设向量a=(4 2 2),b=(2 4 2 )c=(2 2 4)A是由向量a,b,c组成的矩阵,试求一个正交矩阵V,使得V的逆矩阵乘以矩阵A再乘以V是对角矩阵

线性代数中的正交矩阵4设向量a=(4 2 2),b=(2 4 2 )c=(2 2 4)A是由向量a,b,c组成的矩阵,试求一个正交矩阵V,使得V的逆矩阵乘以矩阵A再乘以V是对角矩阵
线性代数中的正交矩阵4
设向量a=(4 2 2),b=(2 4 2 )c=(2 2 4)A是由向量a,b,c组成的矩阵,试求一个正交矩阵V,使得V的逆矩阵乘以矩阵A再乘以V是对角矩阵

线性代数中的正交矩阵4设向量a=(4 2 2),b=(2 4 2 )c=(2 2 4)A是由向量a,b,c组成的矩阵,试求一个正交矩阵V,使得V的逆矩阵乘以矩阵A再乘以V是对角矩阵
根据特征方程|λE-A|=0 (E为单位矩阵),解得矩阵A的特征值分别为:
λ1=8,λ2=λ3=2(二重特征值)
把λ1=8代入特征方程,由(8E-A)x=0,解得对应λ1=8的特征向量为
x1=(1,1,1)^T (其中^T表示转置)
将x1规范化:ε1=(1/√3)(1,1,1)^T
把λ2=λ3=2代入特征方程,由(2E-A)x=0,解得对应λ2=λ3=2的特征向量为
x2=(-1,1,0)^T,x3=(-1,0,1)^T
施密特正交化得:α2=x2=(1,-1,0)^T
α3=x3-(<α2,x3>/<α2,α2>)α2
=(-1/2,-1/2,1)^T
规范化得:ε2=(1/√2)(-1,1,0)^T ,ε3=(1/√6)(-1,-1,2)^T
令V=(ε1,ε2,ε3),则 V(逆)*A*V=∧(对角矩阵)
其中 V= 1/√3 -1/√2 -1/√6
1/√3 1/√2 -1/√6
1/√3 0 2/√6

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