如图,在平面直角坐标系中,已知点A(0,2),点P是X轴上一动点,以线段AP为一边,在其一侧作等边三角形APQ求证点P在X轴上运动(P不与O重合时),角ABQ为定值为什么“△APO≌△AQB总成立”
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/25 17:05:56
![如图,在平面直角坐标系中,已知点A(0,2),点P是X轴上一动点,以线段AP为一边,在其一侧作等边三角形APQ求证点P在X轴上运动(P不与O重合时),角ABQ为定值为什么“△APO≌△AQB总成立”](/uploads/image/z/4703006-38-6.jpg?t=%E5%A6%82%E5%9B%BE%2C%E5%9C%A8%E5%B9%B3%E9%9D%A2%E7%9B%B4%E8%A7%92%E5%9D%90%E6%A0%87%E7%B3%BB%E4%B8%AD%2C%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E7%82%B9A%EF%BC%880%2C2%EF%BC%89%2C%E7%82%B9P%E6%98%AFX%E8%BD%B4%E4%B8%8A%E4%B8%80%E5%8A%A8%E7%82%B9%2C%E4%BB%A5%E7%BA%BF%E6%AE%B5AP%E4%B8%BA%E4%B8%80%E8%BE%B9%2C%E5%9C%A8%E5%85%B6%E4%B8%80%E4%BE%A7%E4%BD%9C%E7%AD%89%E8%BE%B9%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2APQ%E6%B1%82%E8%AF%81%E7%82%B9P%E5%9C%A8X%E8%BD%B4%E4%B8%8A%E8%BF%90%E5%8A%A8%EF%BC%88P%E4%B8%8D%E4%B8%8EO%E9%87%8D%E5%90%88%E6%97%B6%EF%BC%89%2C%E8%A7%92ABQ%E4%B8%BA%E5%AE%9A%E5%80%BC%E4%B8%BA%E4%BB%80%E4%B9%88%E2%80%9C%E2%96%B3APO%E2%89%8C%E2%96%B3AQB%E6%80%BB%E6%88%90%E7%AB%8B%E2%80%9D)
如图,在平面直角坐标系中,已知点A(0,2),点P是X轴上一动点,以线段AP为一边,在其一侧作等边三角形APQ求证点P在X轴上运动(P不与O重合时),角ABQ为定值为什么“△APO≌△AQB总成立”
如图,在平面直角坐标系中,已知点A(0,2),点P是X轴上一动点,以线段AP为一边,在其一侧作等边三角形APQ
求证点P在X轴上运动(P不与O重合时),角ABQ为定值为什么“△APO≌△AQB总成立”
如图,在平面直角坐标系中,已知点A(0,2),点P是X轴上一动点,以线段AP为一边,在其一侧作等边三角形APQ求证点P在X轴上运动(P不与O重合时),角ABQ为定值为什么“△APO≌△AQB总成立”
(1)过点B作BC⊥y轴于点C,
∵A(0,2),△AOB为等边三角形,
∴AB=OB=2,∠BAO=60°,
∴BC=根3 ,OC=AC=1,
即B(根3,1 );
(2)当点P在x轴上运动(P不与O重合)时,不失一般性,
∵∠PAQ═∠OAB=60°,
∴∠PAO=∠QAB,
在△APO和△AQB中,
∵AP=AQ,∠PAO=∠QAB,AO=AB
∴△APO≌△AQB总成立,
∴∠ABQ=∠AOP=90°总成立,
∴当点P在x轴上运动(P不与Q重合)时,∠ABQ为定值90°;
(3)由(2)可知,点Q总在过点B且与AB垂直的直线上,可见AO与BQ不平行.
①当点P在x轴负半轴上时,点Q在点B的下方,
此时,若AB∥OQ,四边形AOQB即是梯形,
当AB∥OQ时,∠BQO=90°,∠BOQ=∠ABO=60°.
又OB=OA=2,可求得BQ=根3 ,
由(2)可知,△APO≌△AQB,
∴OP=BQ=根3 ,
∴此时P的坐标为(-根3,0 ).
②当点P在x轴正半轴上时,点Q在B的上方,
此时,若AQ∥OB,四边形AOQB即是梯形,
当AQ∥OB时,∠ABQ=90°,∠QAB=∠ABO=60°.
又AB=2,可求得BQ=2根3 ,
由(2)可知,△APO≌△AQB,
∴OP=BQ=2根3 ,
∴此时P的坐标为(2根3,0 ).
综上,P的坐标为(-根3,0 )或(2根3,0 ).
少条件,B点的位置没确定,是AOB为等边三角形吗?