{an}为首项是正数的等比数列,前n项和Sn=80,前2n项和Sn=6560,在前n项中数值最大者为54,求通项an.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/25 17:51:58
![{an}为首项是正数的等比数列,前n项和Sn=80,前2n项和Sn=6560,在前n项中数值最大者为54,求通项an.](/uploads/image/z/4092895-55-5.jpg?t=%EF%BD%9Ban%7D%E4%B8%BA%E9%A6%96%E9%A1%B9%E6%98%AF%E6%AD%A3%E6%95%B0%E7%9A%84%E7%AD%89%E6%AF%94%E6%95%B0%E5%88%97%2C%E5%89%8Dn%E9%A1%B9%E5%92%8CSn%EF%BC%9D80%2C%E5%89%8D2n%E9%A1%B9%E5%92%8CSn%3D6560%2C%E5%9C%A8%E5%89%8Dn%E9%A1%B9%E4%B8%AD%E6%95%B0%E5%80%BC%E6%9C%80%E5%A4%A7%E8%80%85%E4%B8%BA54%2C%E6%B1%82%E9%80%9A%E9%A1%B9an.)
{an}为首项是正数的等比数列,前n项和Sn=80,前2n项和Sn=6560,在前n项中数值最大者为54,求通项an.
{an}为首项是正数的等比数列,前n项和Sn=80,前2n项和Sn=6560,在前n项中数值最大者为54,求通项an.
{an}为首项是正数的等比数列,前n项和Sn=80,前2n项和Sn=6560,在前n项中数值最大者为54,求通项an.
Sn=a1(1-q^n)/(1-q)
S2n=a1(1-q^2n)/(1-q)
所以Sn/S2n=(1-q^n)/(1-q^2n)=80/6560=1/82
1+q^n=82
q^n=81
因为n为自然数,则q>1或q
根据已知可得:Sn=a1+a1q+a1q*q+...+a1q^n1=80......(1)
S2n=a1+a1q+a1q*q+...+a1q^2n-1=6560......(2)
将(1)、(2)式中的a1提出来得到:
Sn=a1(1+q+q^2+q^3+...+q^n-1)=80......(3)
S2n=a1(1+q+q^2+q^3+...+q^2n-1)=65...
全部展开
根据已知可得:Sn=a1+a1q+a1q*q+...+a1q^n1=80......(1)
S2n=a1+a1q+a1q*q+...+a1q^2n-1=6560......(2)
将(1)、(2)式中的a1提出来得到:
Sn=a1(1+q+q^2+q^3+...+q^n-1)=80......(3)
S2n=a1(1+q+q^2+q^3+...+q^2n-1)=6560......(4)
用(4)式除以(3)式得(运用等比数列前n项和公式):
(1-q^2n)/(1-q^n)=82
分母乘过来得:
1-q^2n=82-82*q^n
将q^n看作x,即得:x^2-82x 81=0
十字相乘法得:
x=81或x=1(舍)(n为自然数,q不可能为一)
又因为前n项中最大项为an=a1*q^(n-1)=54
即54=(a1*q^n)/q......(5)
将q^n=81带入(3)式和(5)式中得:
81a1=54q
80(q-a1)=80
解得:a1=2 q=3
故an=a1*q^n-1=2*3^n-1
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