问一个关于数列的问题已知数列{An}满足A1=1,An=3^(n-1)+A(n-1) 〔n>=2〕,证明:An=(3^n-1)/2【这里An和A(n-1)分别表示A的第n项和第n-1项,由于是手机所以不能表示的那么清除请见谅.】

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/20 01:17:58
问一个关于数列的问题已知数列{An}满足A1=1,An=3^(n-1)+A(n-1) 〔n>=2〕,证明:An=(3^n-1)/2【这里An和A(n-1)分别表示A的第n项和第n-1项,由于是手机所以不能表示的那么清除请见谅.】

问一个关于数列的问题已知数列{An}满足A1=1,An=3^(n-1)+A(n-1) 〔n>=2〕,证明:An=(3^n-1)/2【这里An和A(n-1)分别表示A的第n项和第n-1项,由于是手机所以不能表示的那么清除请见谅.】
问一个关于数列的问题
已知数列{An}满足A1=1,An=3^(n-1)+A(n-1) 〔n>=2〕,证明:An=(3^n-1)/2
【这里An和A(n-1)分别表示A的第n项和第n-1项,由于是手机所以不能表示的那么清除请见谅.】

问一个关于数列的问题已知数列{An}满足A1=1,An=3^(n-1)+A(n-1) 〔n>=2〕,证明:An=(3^n-1)/2【这里An和A(n-1)分别表示A的第n项和第n-1项,由于是手机所以不能表示的那么清除请见谅.】
证:
an=3^(n-1)+a(n-1)
an-a(n-1)=3^(n-1)
a(n-1)-a(n-2)=3^(n-2)
……
a2-a1=3^1
累加
an-a1=3^1+3^2+...+3^(n-1)=(3^n-1)/(3-1)=3[3^(n-1)-1]/2=(3^n-3)/2
an=a1+(3^n-3)/2=1+(3^n-3)/2=(3^n-1)/2

An-A(n-1)=3^(n-1),采用叠加法
An=(An-A(n-1))+(A(n-1)-A(n-2)) +...+ (A2-A1)+A1
=3^(n-1)+3^(n-2)+....+3^2+3+3^0
c此为一个等比数列的和
=(3^(n-1))/2

抓住仅有的条件吧
An=3^(n-1)+A(n-1) ,即An-A(n-1) =3^(n-1)
A2-A1=3^1
A3-A2=3^2
……
A(n-1)-A(n-2)=3^(n-2)
An-A(n-1)=3^(n-1)
上述等式相加得
An-A1=3^1+3^2+……+3^(n-1)
An=(3^n-1)/2

简单,an-a(n-1)=3^n-1。。。。。。。a3-a2=3^2,a2-a1=3。将此数列相加可以等到证明的式子,具体过程,自己一算就明白了

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