作业帮已知函数f（x）=（1+㏑x）／x,（x≥1） （1）试判断函数f（x）的单调性,并说明理由（2）若f（x）≥k／x+1恒成立,求实数k的取值范围（3）求证：[（n+1）!]²＞（n+1）e（n-2）（这里为e的n-2次
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/08 18:57:52
![已知函数f（x）=（1+㏑x）／x,（x≥1） （1）试判断函数f（x）的单调性,并说明理由（2）若f（x）≥k／x+1恒成立,求实数k的取值范围（3）求证：[（n+1）!]²＞（n+1）e（n-2）（这里为e的n-2次](/uploads/image/z/3976881-33-1.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E5%87%BD%E6%95%B0f%EF%BC%88x%EF%BC%89%3D%EF%BC%881%2B%E3%8F%91x%EF%BC%89%EF%BC%8Fx%2C%EF%BC%88x%E2%89%A51%EF%BC%89+%EF%BC%881%EF%BC%89%E8%AF%95%E5%88%A4%E6%96%AD%E5%87%BD%E6%95%B0f%EF%BC%88x%EF%BC%89%E7%9A%84%E5%8D%95%E8%B0%83%E6%80%A7%2C%E5%B9%B6%E8%AF%B4%E6%98%8E%E7%90%86%E7%94%B1%EF%BC%882%EF%BC%89%E8%8B%A5f%EF%BC%88x%EF%BC%89%E2%89%A5k%EF%BC%8Fx%2B1%E6%81%92%E6%88%90%E7%AB%8B%2C%E6%B1%82%E5%AE%9E%E6%95%B0k%E7%9A%84%E5%8F%96%E5%80%BC%E8%8C%83%E5%9B%B4%EF%BC%883%EF%BC%89%E6%B1%82%E8%AF%81%EF%BC%9A%5B%EF%BC%88n%2B1%EF%BC%89%21%5D%26%23178%3B%EF%BC%9E%EF%BC%88n%2B1%EF%BC%89e%EF%BC%88n-2%EF%BC%89%EF%BC%88%E8%BF%99%E9%87%8C%E4%B8%BAe%E7%9A%84n-2%E6%AC%A1)
已知函数f（x）=（1+㏑x）／x,（x≥1） （1）试判断函数f（x）的单调性,并说明理由（2）若f（x）≥k／x+1恒成立,求实数k的取值范围（3）求证：[（n+1）!]²＞（n+1）e（n-2）（这里为e的n-2次
已知函数f（x）=（1+㏑x）／x,（x≥1） （1）试判断函数f（x）的单调性,并说明理由
（2）若f（x）≥k／x+1恒成立,求实数k的取值范围
（3）求证：[（n+1）!]²＞（n+1）e（n-2）（这里为e的n-2次方）,（n∈N*）
已知函数f（x）=（1+㏑x）／x,（x≥1） （1）试判断函数f（x）的单调性,并说明理由（2）若f（x）≥k／x+1恒成立,求实数k的取值范围（3）求证：[（n+1）!]²＞（n+1）e（n-2）（这里为e的n-2次
(1)
f(x) = (1 + lnx)x⁻¹
f'(x) = (1/x)x⁻¹ + (1+lnx)(-1)x⁻² = -x⁻²lnx
x ≥1时,lnx ≥0,x⁻² > 0,f'(x) ≤ 0,减函数
(2)
令g(x) = (x+1)f(x) = x⁻¹(x+1)(1+lnx)
g'(x) = - x⁻²(x+1)(1+lnx) + x⁻¹(1+lnx) + x⁻¹(x+1)(1/x)
= x⁻²[-(x+1)(1+lnx) + x(1+lnx) + x+1]
= x⁻²(x - lnx)
x ≥1时,x⁻² > 0,x - lnx > 0,g'(x) >0,增函数
若f(x) ≥k/(x+1)恒成立,
只需求g(x)在x ≥1时的最小值,x = 1时,g(x)取最小值2.
实数k的取值范围:k < 2
(3)
n = 1时,左边= 4,右边=2/e < 1,不等式成立
n = 2时,左边= 36,右边=3,不等式成立
假定n-1 (>2)时不等式成立:(n!)² > ne^(n-3)
[(n+1)!]² = (n+1)²(n!)² > (n+1)²*ne^(n-3) = (n+1)e^(n-2)[n(n+1)/e]
于是只需证明 n(n+1)/e >1,n(n+1) > e
n>2时,n(n+1)>2显然成立.
证毕