如图,在半径为R、圆心角为60°的扇形AB狐上任取一点P,作扇形的内接矩形PNMQ,使点Q在OA上,点M,N在OB上,求这个矩形面积的最大值及相应的∠AOP的值.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/21 16:55:34
![如图,在半径为R、圆心角为60°的扇形AB狐上任取一点P,作扇形的内接矩形PNMQ,使点Q在OA上,点M,N在OB上,求这个矩形面积的最大值及相应的∠AOP的值.](/uploads/image/z/3783064-40-4.jpg?t=%E5%A6%82%E5%9B%BE%2C%E5%9C%A8%E5%8D%8A%E5%BE%84%E4%B8%BAR%E3%80%81%E5%9C%86%E5%BF%83%E8%A7%92%E4%B8%BA60%C2%B0%E7%9A%84%E6%89%87%E5%BD%A2AB%E7%8B%90%E4%B8%8A%E4%BB%BB%E5%8F%96%E4%B8%80%E7%82%B9P%2C%E4%BD%9C%E6%89%87%E5%BD%A2%E7%9A%84%E5%86%85%E6%8E%A5%E7%9F%A9%E5%BD%A2PNMQ%2C%E4%BD%BF%E7%82%B9Q%E5%9C%A8OA%E4%B8%8A%2C%E7%82%B9M%2CN%E5%9C%A8OB%E4%B8%8A%2C%E6%B1%82%E8%BF%99%E4%B8%AA%E7%9F%A9%E5%BD%A2%E9%9D%A2%E7%A7%AF%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%A4%A7%E5%80%BC%E5%8F%8A%E7%9B%B8%E5%BA%94%E7%9A%84%E2%88%A0AOP%E7%9A%84%E5%80%BC.)
如图,在半径为R、圆心角为60°的扇形AB狐上任取一点P,作扇形的内接矩形PNMQ,使点Q在OA上,点M,N在OB上,求这个矩形面积的最大值及相应的∠AOP的值.
如图,在半径为R、圆心角为60°的扇形AB狐上任取一点P,作扇形的内接矩形PNMQ,使点Q在OA上,点M,N在OB上,求这个矩形面积的最大值及相应的∠AOP的值.
如图,在半径为R、圆心角为60°的扇形AB狐上任取一点P,作扇形的内接矩形PNMQ,使点Q在OA上,点M,N在OB上,求这个矩形面积的最大值及相应的∠AOP的值.
∠AOB=π/3,OA=OB=OP=R
连接OP,设∠BOP=X
ON=OPcos∠BOP=RcosX
MQ=PN=OPsin∠BOP=RsinX
OM=QM/tan∠AOB=RsinX/tanπ/3=RsinX/根号3
PQ=NM=ON-OM=RcosX-RsinX/根号3
用f(x)表示矩形PNMQ的面积:
f(x)=PQ*MQ=【RcosX-RsinX/根号3】* RsinX
=R^2【sinXcosX-sin^2X/根号3】
=R^2 /根号3 *【根号3 sinXcosX-sin^2X】
=R^2 /根号3 *【根号3/2 * sin2x-(1-cos2X)/2】
=R^2 /根号3 *【根号3/2 * sin2x+1/2 cos2X-1/2】
=R^2 /根号3 *【sin2xcosπ/6+cos2Xsinπ/6-1/2】
=R^2 /根号3 *【sin(2x+π/6)-1/2】
当sin(2x+π/6)=1时,f(x)max=R^2 /根号3 *【1-1/2】=R^2/(2根号3)=根号3/6 R^2
此时:2X+π/6=π/2 (因为X∈(0,π/3)
x=π/6,即∠BOP=π/6
∠AOP=∠AOB-∠BOP=π/3-π/6=π/6
∴矩形面积的最大值根号3/6 R^2,此时∠AOP为π/6即30°
设AQ=r PN=b
由题意
∵内接矩形PNMQ
∴PQ‖OB PN=QM=b PN⊥OB
∴ 由扇形性质:弧AP是以Q为圆心、圆心角为60°的扇形
即PQ=AQ=r
则矩形PNMQ的面积S=r*b=r*(R-r)sin60°
...
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设AQ=r PN=b
由题意
∵内接矩形PNMQ
∴PQ‖OB PN=QM=b PN⊥OB
∴ 由扇形性质:弧AP是以Q为圆心、圆心角为60°的扇形
即PQ=AQ=r
则矩形PNMQ的面积S=r*b=r*(R-r)sin60°
根据最大值定理
当r=R-r时 矩形面积有Smax
即当r=R/2时 Smax=sin60°*R^2/4
∴PN=R/2
又 ∵P点在圆弧AB上
∴OP=R
∵PN⊥OP PN=R/2
∴ △OPN中 ∠NOP=∠BOP=30°
∴∠AOP = 60°-30°=30°
所以 S矩形max=sin60°*R^2/4
∠AOP=30°
收起