过圆 (x-a)²+(y-b)²=r² 上一点 (m,n)的切线方程就是 (m-a)(x-a)+(n-b)(y-b)=r²如何证明?
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/15 01:55:30
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过圆 (x-a)²+(y-b)²=r² 上一点 (m,n)的切线方程就是 (m-a)(x-a)+(n-b)(y-b)=r²如何证明?
过圆 (x-a)²+(y-b)²=r² 上一点 (m,n)的切线方程就是 (m-a)(x-a)+(n-b)(y-b)=r²
如何证明?
过圆 (x-a)²+(y-b)²=r² 上一点 (m,n)的切线方程就是 (m-a)(x-a)+(n-b)(y-b)=r²如何证明?
解由题知切点为 (m,n),圆心为(a,b)
则切点与圆心所在直线的斜率为k=(n-b)/(m-a)
则切线的向量k=-(m-a)/(n-b)
即切线的方程为
y-n=-[(m-a)/(n-b)](x-m)
即(n-b)(y-n)=-(m-a)(x-m)
即(n-b)(y-n)+(m-a)(x-m)=0
即(m-a)(x-m)+(n-b)(y-n)=0
即(m-a)(x-a-m+a)+(n-b)(y-b-n+b)=0
即(m-a)[(x-a-m+a)]+(n-b)[(y-b-n+b)]=0
即(m-a)[(x-a)-(m-a)]+(n-b)[(y-b)-(n-b)]=0
即(m-a)(x-a)-(m-a)²+(n-b)(y-b)-(n-b)²=0
即(m-a)(x-a)+(n-b)(y-b)=(m-a)²+(n-b)²
又有切点为 (m,n),在圆(x-a)²+(y-b)²=r² 上
即(m-a)²+(n-b)²=r²
即由(m-a)(x-a)+(n-b)(y-b)=(m-a)²+(n-b)²=r²
即 (m-a)(x-a)+(n-b)(y-b)=r².
首先,切线与向量(m-a,n-b)垂直
所以x的系数为m-a,y的系数为n-b.
其次,切线过点(m,n)
因为(m-a)*(m-a)+(n-b)*(n-b)=r^2
所以切线为(m-a)(x-a)+(n-b)(y-b)=r^2.为什么切线与向量(m-a,n-b)垂直,所以x的系数为m-a,y的系数为n-b?因为切线所对应的方向向量为(x,y)
它与(m-a...
全部展开
首先,切线与向量(m-a,n-b)垂直
所以x的系数为m-a,y的系数为n-b.
其次,切线过点(m,n)
因为(m-a)*(m-a)+(n-b)*(n-b)=r^2
所以切线为(m-a)(x-a)+(n-b)(y-b)=r^2.
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