已知:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,线段BC的垂直平分线上DE交AB于点D,交BC于点E,DF垂直AC,垂足为F.求证:DF是线段AC的垂直平分线.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/20 11:21:02
![已知:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,线段BC的垂直平分线上DE交AB于点D,交BC于点E,DF垂直AC,垂足为F.求证:DF是线段AC的垂直平分线.](/uploads/image/z/3162714-42-4.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5%3A%E5%A6%82%E5%9B%BE%2C%E5%9C%A8Rt%E2%96%B3ABC%E4%B8%AD%2C%E2%88%A0C%3D90%C2%B0%2C%E7%BA%BF%E6%AE%B5BC%E7%9A%84%E5%9E%82%E7%9B%B4%E5%B9%B3%E5%88%86%E7%BA%BF%E4%B8%8ADE%E4%BA%A4AB%E4%BA%8E%E7%82%B9D%2C%E4%BA%A4BC%E4%BA%8E%E7%82%B9E%2CDF%E5%9E%82%E7%9B%B4AC%2C%E5%9E%82%E8%B6%B3%E4%B8%BAF.%E6%B1%82%E8%AF%81%EF%BC%9ADF%E6%98%AF%E7%BA%BF%E6%AE%B5AC%E7%9A%84%E5%9E%82%E7%9B%B4%E5%B9%B3%E5%88%86%E7%BA%BF.)
已知:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,线段BC的垂直平分线上DE交AB于点D,交BC于点E,DF垂直AC,垂足为F.求证:DF是线段AC的垂直平分线.
已知:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,线段BC的垂直平分线上DE交AB于点D,交BC于点E,DF垂直AC,垂足为F.求证:DF是线段AC的垂直平分线.
已知:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,线段BC的垂直平分线上DE交AB于点D,交BC于点E,DF垂直AC,垂足为F.求证:DF是线段AC的垂直平分线.
证明:
DE是BC的垂直平分线.
∠C=90°
所以DE平行于AC
BE=CE
所以AD=DB(平行线等分线段定理)
DF垂直AC
所以DF平行于BC
因为AD=DB
所以AF=FC(平行线等分线段定理)
即DF是线段AC的垂直平分线
证:∵BE=CE,DE⊥BC,DF⊥AC,∠C= Rt∠
∴∠EDF=RT∠
∴四边形DECF为矩形
∴DE:AC=1:2
∴DF是AC的垂直平分线
还可以用全等三角形、相似三角形证明。
因为 DF垂直AC,∠C=90°,DE是线段BC的垂直平分线
所以 DF平行于BC,DE平行于AC
所以 DE=FC
因为 DF平行于BC,DE平行于AC,AD=BD
所以 三角形ADF全等于DBE
所以 DE=AF
所以 FC=AF
所以 DF是线段AC的垂直平分线
因为∠C=90°,DF垂直AC,DE垂直BC,四角形内角和为360度,所以DE垂直DF,由此可知DF平行CE,DE平行FC,即四边形DECF为平行四边形,所以有,DE=CF,DF=CE,∠ADF=∠DBE,又DE为BC的垂直平分线,所以有BE=CE,又DF=CE,所以DF=BE.而∠ADF=∠DBE,∠AFD=∠BED,从而可知三角形AFD全等三角形DEB,所以有AF=DE,又CF=DE,所以AF...
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因为∠C=90°,DF垂直AC,DE垂直BC,四角形内角和为360度,所以DE垂直DF,由此可知DF平行CE,DE平行FC,即四边形DECF为平行四边形,所以有,DE=CF,DF=CE,∠ADF=∠DBE,又DE为BC的垂直平分线,所以有BE=CE,又DF=CE,所以DF=BE.而∠ADF=∠DBE,∠AFD=∠BED,从而可知三角形AFD全等三角形DEB,所以有AF=DE,又CF=DE,所以AF=CF,而DF垂直AC,所以DF是线段AC的垂直平分线。
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