设f(x)=lnx+√x-1,证明:1<x<3时f(x)<9(x-1)/(x+5)这是辽宁文科2012的21题,不太明白为什么要那么放缩
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/17 16:56:39
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设f(x)=lnx+√x-1,证明:1<x<3时f(x)<9(x-1)/(x+5)这是辽宁文科2012的21题,不太明白为什么要那么放缩
设f(x)=lnx+√x-1,证明:1<x<3时f(x)<9(x-1)/(x+5)
这是辽宁文科2012的21题,不太明白为什么要那么放缩
设f(x)=lnx+√x-1,证明:1<x<3时f(x)<9(x-1)/(x+5)这是辽宁文科2012的21题,不太明白为什么要那么放缩
引入函数
g(x)
=f(x)-9(x-1)/(x+5)=lnx+√x-1-9(x-1)/(x+5)
=lnx+√x-1-9[(x+5)-6]/(x+5)=lnx+√x-10+54/(x+5).
∴g′(x)=1/x+1/(2√x)-54/(x+5)^2=(4+2√x)/(4x)-54/(x+5)^2.
∵x>1,∴(1-√x)^2=1-2√x+x>0,∴4+2√x<x+5.
∴g′(x)<(x+5)/(4x)-54/(x+5)^2=[(x+5)^3-216x]/[4x(2x+5)^2].
令h(x)=(x+5)^3-216x,则h′(x)=3(x+5)^2-216.
∴当1<x<3时,h′(x)<3×(3+5)^2-216=3×64-3×72<0.
∴h(x)在区间(1,3)上是减函数,又h(1)=(1+5)^3-216<0,
∴在区间(1,3)上,h(x)<0,∴在区间(1,3)上,g′(x)<0.
∴在区间(1,3)上,g(x)是减函数,又g(1)=ln1+√1-1-9(1-1)/(1+5)=0,
∴在区间(1,3)上,g(x)<0,
∴在区间(1,3)上,f(x)-9(x-1)/(x+5)<0,
∴在区间(1,3)上,f(x)<9(x-1)/(x+5).