若x,y是正数,则(x+1/2y)^2+(y+1/2x)^2的最小值是?

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/18 21:06:22
若x,y是正数,则(x+1/2y)^2+(y+1/2x)^2的最小值是?

若x,y是正数,则(x+1/2y)^2+(y+1/2x)^2的最小值是?
若x,y是正数,则(x+1/2y)^2+(y+1/2x)^2的最小值是?

若x,y是正数,则(x+1/2y)^2+(y+1/2x)^2的最小值是?
此题可用不等式来解
(X+1/2Y)^2+(Y+1/2X)^2>=2(X+1/2Y)(Y+1/2X)=2*(XY+1+1/4XY)
而XY+1/4XY>=1,所以最小值是4

4

(x+1/2y)^2+(y+1/2x)^2
=x^2+x/y+1/4y^2+y^2+y/x+1/4x^2
=(x^2+y^2)+(x/y+y/x)+(1/4y^2+1/4x^2)
≥2xy+2+1/2xy≥2+2=4
前一个等号成立的条件是x=y
后一个等号成立的条件是2xy=1/2xy
所以x=y=根号2/2时,为最小值4

4! 用不等式x^2+y^2 ≥2xy x=y等号成立!