△ABC内接于圆O,AB是圆O的直径,CD平分∠ACB交圆O于点D,交AB于F,弦AE⊥CD于点H,连接CE,OH 证OH⊥AC
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/18 09:21:05
![△ABC内接于圆O,AB是圆O的直径,CD平分∠ACB交圆O于点D,交AB于F,弦AE⊥CD于点H,连接CE,OH 证OH⊥AC](/uploads/image/z/1603376-8-6.jpg?t=%E2%96%B3ABC%E5%86%85%E6%8E%A5%E4%BA%8E%E5%9C%86O%2CAB%E6%98%AF%E5%9C%86O%E7%9A%84%E7%9B%B4%E5%BE%84%2CCD%E5%B9%B3%E5%88%86%E2%88%A0ACB%E4%BA%A4%E5%9C%86O%E4%BA%8E%E7%82%B9D%2C%E4%BA%A4AB%E4%BA%8EF%2C%E5%BC%A6AE%E2%8A%A5CD%E4%BA%8E%E7%82%B9H%2C%E8%BF%9E%E6%8E%A5CE%2COH+%E8%AF%81OH%E2%8A%A5AC)
△ABC内接于圆O,AB是圆O的直径,CD平分∠ACB交圆O于点D,交AB于F,弦AE⊥CD于点H,连接CE,OH 证OH⊥AC
△ABC内接于圆O,AB是圆O的直径,CD平分∠ACB交圆O于点D,交AB于F,弦AE⊥CD于点H,连接CE,OH 证OH⊥AC
△ABC内接于圆O,AB是圆O的直径,CD平分∠ACB交圆O于点D,交AB于F,弦AE⊥CD于点H,连接CE,OH 证OH⊥AC
△ABC内接于圆O,AB是圆O的直径,CD平分∠ACB交圆O于点D,交AB于F,弦AE⊥CD于点H,连接CE,OH,(1) 证明OH⊥AC;(2)若AC=6,BC=4,求OH的长.
证明:∵AB是直径,点C在圆上,∴AC⊥BC;延长CB和AE,使之相交于G,∵CD平分∠ACB,
CH⊥AG,故△ACG是等腰直角三角形,H是AG的中点,又O是AB的中点,故OH是△ABG的中位线,∴OH∥CG,而CG⊥AC,∴OH⊥AC.
OH=(1/2)GB=(1/2)(CG-CB)=(1/2)(AC-CB)=(1/2)(6-4)=1.
http://i159.photobucket.com/albums/t145/l421013/MATH2/OC4.png
(2)延长AE、CB交于点M;
∵∠FCB=45°,∠CHM=90°,
∴∠M=45°=∠CAE;
∴HA=HC=HM,CM=CA=6;
∵CB=4,
∴BM=6-4=2;
∵OA=OB,HA=HM,
∴OH是△ABM的中位线,
∴OH=1/2BM=1.
延长AE,CB交于点G则△AEG为等腰直角三角形。∵CH⊥AE于H,∴H为AG中点。∵O为圆心∴O为直径AB中点。由三角形中位线可得HO∥CG,由直径所对圆周角为直角,∴CG⊥AC,∵OH∥CG.
∴OH⊥AC