作业帮已知函数f(x)=x*lnx. (1)求f(x)的最小值. （2）若对所有x>=1,都有f(x)>=ax-1,求实数a的取值范围.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/03 21:57:18
已知函数f(x)=x*lnx. (1)求f(x)的最小值. （2）若对所有x>=1,都有f(x)>=ax-1,求实数a的取值范围.
已知函数f(x)=x*lnx. (1)求f(x)的最小值. （2）若对所有x>=1,都有f(x)>=ax-1,求实数a的取值范围.
已知函数f(x)=x*lnx. (1)求f(x)的最小值. （2）若对所有x>=1,都有f(x)>=ax-1,求实数a的取值范围.
(1)(通过讨论函数的单调性来求最值)求导数得f'(x)=lnx+1,
由f'(x)≥0,即lnx+1≥0解得x≥1/e,
则原函数的单调增区间为[1/e,+∞),减区间为(0,1/e](注意定义域x>0),
函数有(0,+∞)上先减后增,故在x=1/e处取得最小值,所以f(x)的最小值为f(1/e)=-1/e.
(2)因为f(x)>=ax-1,所以xlnx≥ax-1,移项得xlnx+1≥ax,
又x≥1,两边都除以x得lnx+1/x≥a,即a≤lnx+1/x,
要使该式在x≥1上恒成立,只需a小于等于lnx+1/x的最小值即可,
为此,下面来求lnx+1/x的最小值.为讨论方便,设g(x)=lnx+1/x,
则g′(x)=1/x-1/x²,显然当x≥1时,g′(x)=1/x-1/x²≥0恒成立,
即说明函数g(x)=lnx+1/x在x≥1上是增函数,
所以其最小值为g(1)=1,所以a≤1.
1）求导得，f'(x)=x'lnx+x*1/x=lnx+1
f(x)取得最小值时，f'(x)=lnx+1=0，解得lnx=-1，x=1/e
∴最小值为f(1/e)=1/e*(-1)=-1/e
2) 由f(x)≥ax-1得xlnx≥ax-1，即xlnx+1≥ax
∵x≥1，∴a≤lnx+1/x (x≥1)
.当f'(x)=lnx+1=0时，x=1/e
最小值为-1/e