如图,AC是圆O的直径,点B在圆O上,∠BAC=30°,BM⊥AC交AC于点M,EA⊥平面ABC,FC∥EA,AC=4,EA=3,FC=1.(1)证明:EM⊥BF;(2)求平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/26 04:03:11
![如图,AC是圆O的直径,点B在圆O上,∠BAC=30°,BM⊥AC交AC于点M,EA⊥平面ABC,FC∥EA,AC=4,EA=3,FC=1.(1)证明:EM⊥BF;(2)求平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值.](/uploads/image/z/15240691-19-1.jpg?t=%E5%A6%82%E5%9B%BE%2CAC%E6%98%AF%E5%9C%86O%E7%9A%84%E7%9B%B4%E5%BE%84%2C%E7%82%B9B%E5%9C%A8%E5%9C%86O%E4%B8%8A%2C%E2%88%A0BAC%3D30%C2%B0%2CBM%E2%8A%A5AC%E4%BA%A4AC%E4%BA%8E%E7%82%B9M%2CEA%E2%8A%A5%E5%B9%B3%E9%9D%A2ABC%2CFC%E2%88%A5EA%2CAC%3D4%2CEA%3D3%2CFC%3D1%EF%BC%8E%EF%BC%881%EF%BC%89%E8%AF%81%E6%98%8E%EF%BC%9AEM%E2%8A%A5BF%EF%BC%9B%EF%BC%882%EF%BC%89%E6%B1%82%E5%B9%B3%E9%9D%A2BEF%E4%B8%8E%E5%B9%B3%E9%9D%A2ABC%E6%89%80%E6%88%90%E7%9A%84%E9%94%90%E4%BA%8C%E9%9D%A2%E8%A7%92%E7%9A%84%E4%BD%99%E5%BC%A6%E5%80%BC%EF%BC%8E)
如图,AC是圆O的直径,点B在圆O上,∠BAC=30°,BM⊥AC交AC于点M,EA⊥平面ABC,FC∥EA,AC=4,EA=3,FC=1.(1)证明:EM⊥BF;(2)求平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值.
如图,AC是圆O的直径,点B在圆O上,∠BAC=30°,BM⊥AC交AC于点M,EA⊥平面ABC,FC∥EA,AC=4,EA=3,FC=1.(1)证明:EM⊥BF;(2)求平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值.
如图,AC是圆O的直径,点B在圆O上,∠BAC=30°,BM⊥AC交AC于点M,EA⊥平面ABC,FC∥EA,AC=4,EA=3,FC=1.(1)证明:EM⊥BF;(2)求平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值.
(1)证明:∵EA⊥平面ABC,BM⊂平面ABC,∴EA⊥BM.
又∵BM⊥AC,EA∩AC=A,∴BM⊥平面ACFE,
而EM⊂平面ACFE,∴BM⊥EM.∵AC是圆O的直径,∴∠ABC=90°.
又∵∠BAC=30°,AC=4,∴AB=2√3 ,BC=2,AM=3,CM=1.
∵EA⊥平面ABC,FC∥EA,FC/EA =1/3∴FC⊥平面ABCD.
∴△EAM与△FCM都是等腰直角三角形.∴∠EMA=∠FMC=45°.
∴∠EMF=90°,即EM⊥MF(也可由勾股定理证得).
∵MF∩BM=M,∴EM⊥平面MBF.而BF⊂平面MBF,∴EM⊥BF.
(2)延长EF交AC于G,连BG,过C作CH⊥BG,
连接FH.由(1)知FC⊥平面ABC,BG⊂平面ABC,∴FC⊥BG.
而FC∩CH=C,∴BG⊥平面FCH.∵FH⊂平面FCH,∴FH⊥BG,
∴∠FHC为平面BEF与平面ABC所成的二面角的平面角.
在Rt△ABC中,∵∠BAC=30°,AC=4,∴BM=AB•sin30°= √3 .
由FC/EA =GC/GA =1/3 ,得GC=2.∵BG=√(BM^2+MG^2) =2√3 .
又∵△GCH∽△GBM,∴GC/BG =CH/BM ,
则CH=GC•BM/BG =2×√3 /2√3 =1.
∴△FCH是等腰直角三角形,∠FHC=45°.
∴平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值为 √2/2 .
(1)证明:∵EA⊥平面ABC,BM⊂平面ABC,∴EA⊥BM.
又∵BM⊥AC,EA∩AC=A,∴BM⊥平面ACFE,
而EM⊂平面ACFE,∴BM⊥EM.∵AC是圆O的直径,∴∠ABC=90°.
又∵∠BAC=30°,AC=4,∴AB=2
3
FC
EA
1
3
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全部展开
(1)证明:∵EA⊥平面ABC,BM⊂平面ABC,∴EA⊥BM.
又∵BM⊥AC,EA∩AC=A,∴BM⊥平面ACFE,
而EM⊂平面ACFE,∴BM⊥EM.∵AC是圆O的直径,∴∠ABC=90°.
又∵∠BAC=30°,AC=4,∴AB=2
3
FC
EA
1
3
∴FC⊥平面ABCD.∴△EAM与△FCM都是等腰直角三角形.
∴∠EMA=∠FMC=45°.∴∠EMF=90°,即EM⊥MF(也可由勾股定理证得).
∵MF∩BM=M,∴EM⊥平面MBF.
而BF⊂平面MBF,∴EM⊥BF.
(2)延长EF交AC于G,连BG,过C作CH⊥BG,连接FH.
由(1)知FC⊥平面ABC,BG⊂平面ABC,∴FC⊥BG.
而FC∩CH=C,∴BG⊥平面FCH.∵FH⊂平面FCH,∴FH⊥BG,∴∠FHC为平面BEF与平面ABC所成的
二面角的平面角.(8分)
在Rt△ABC中,∵∠BAC=30°,AC=4,
∴BM=AB•sin30°=
3
由
FC
EA
GC
GA
1
3
BM2+MG2
3
又∵△GCH\~△GBM,∴
GC
BG
CH
BM
GC•BM
BG
2×3
23
∴△FCH是等腰直角三角形,∠FHC=45°.∴平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值为
2
2 .
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