△ABC内接于⊙O,点P是∆ABC的内切圆的圆心,AP交边BC于点D ,交⊙O于点E,经过点E作⊙O的切线分别交AB、AC延长线于点、FG .①求证:BC∥FG②探究:PE与DE和AE之间关系③若FE=AB时,且FB=3,CG=2,求AG的
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/18 23:18:42
![△ABC内接于⊙O,点P是∆ABC的内切圆的圆心,AP交边BC于点D ,交⊙O于点E,经过点E作⊙O的切线分别交AB、AC延长线于点、FG .①求证:BC∥FG②探究:PE与DE和AE之间关系③若FE=AB时,且FB=3,CG=2,求AG的](/uploads/image/z/15142134-30-4.jpg?t=%E2%96%B3ABC%E5%86%85%E6%8E%A5%E4%BA%8E%E2%8A%99O%2C%E7%82%B9P%E6%98%AF%26%238710%3BABC%E7%9A%84%E5%86%85%E5%88%87%E5%9C%86%E7%9A%84%E5%9C%86%E5%BF%83%2CAP%E4%BA%A4%E8%BE%B9BC%E4%BA%8E%E7%82%B9D+%2C%E4%BA%A4%E2%8A%99O%E4%BA%8E%E7%82%B9E%2C%E7%BB%8F%E8%BF%87%E7%82%B9E%E4%BD%9C%E2%8A%99O%E7%9A%84%E5%88%87%E7%BA%BF%E5%88%86%E5%88%AB%E4%BA%A4AB%E3%80%81AC%E5%BB%B6%E9%95%BF%E7%BA%BF%E4%BA%8E%E7%82%B9%E3%80%81FG+.%E2%91%A0%E6%B1%82%E8%AF%81%EF%BC%9ABC%E2%88%A5FG%E2%91%A1%E6%8E%A2%E7%A9%B6%EF%BC%9APE%E4%B8%8EDE%E5%92%8CAE%E4%B9%8B%E9%97%B4%E5%85%B3%E7%B3%BB%E2%91%A2%E8%8B%A5FE%3DAB%E6%97%B6%2C%E4%B8%94FB%3D3%2CCG%3D2%2C%E6%B1%82AG%E7%9A%84)
△ABC内接于⊙O,点P是∆ABC的内切圆的圆心,AP交边BC于点D ,交⊙O于点E,经过点E作⊙O的切线分别交AB、AC延长线于点、FG .①求证:BC∥FG②探究:PE与DE和AE之间关系③若FE=AB时,且FB=3,CG=2,求AG的
△ABC内接于⊙O,点P是∆ABC的内切圆的圆心,AP交边BC于点D ,交⊙O于点E,经过点E作⊙O的切线分别交AB、AC延长线于点、FG .
①求证:BC∥FG
②探究:PE与DE和AE之间关系
③若FE=AB时,且FB=3,CG=2,求AG的长
第一题我算出来了:
证明:如图,连结CE
∵FG为圆O的切线
∴∠CEG=∠CAE(弦切角定理)
又P为△ABC内心
∴AP平分∠BAC,即∠CAE=∠BAD
∴∠CEG=∠BAD
又∠ABD=∠AEC
∴∠ADC=∠BAD+∠ABD=∠CEG+∠AEC=∠AEG
于是BC∥FG
但后两题怎么算?
△ABC内接于⊙O,点P是∆ABC的内切圆的圆心,AP交边BC于点D ,交⊙O于点E,经过点E作⊙O的切线分别交AB、AC延长线于点、FG .①求证:BC∥FG②探究:PE与DE和AE之间关系③若FE=AB时,且FB=3,CG=2,求AG的
(1)证明:连接BE,
∵点P是△ABC的内心,
∴∠BAD=∠CAD.
又∵FG切⊙O于E,
∴∠BEF=∠BAD.
又∵∠DBE=∠CAD,
∴∠BEF=∠DBE.
∴BC∥FG.
连接BP,
则∠ABP=∠CBP.
∵∠BPE=∠BAP+∠ABP=∠PBC+∠EBD,
∴∠BPE=∠PBE.
∴BE=PE.
在△ABE和△BDE中,
∠BAE=∠EBD,∠BED=∠AEB,
∴△ABE∽△BDE.
∴BE|AE-DE|BE.
∴BE²=AE•DE.
∴PE²=AE•DE.
∵FE²=FB•FA=FB(FB+AB),
而FE=AB,
∴AB²=3(3+AB).
设AB=x,则x²-3x-9=0,
解得x=(3+3√5)/2.
∴AB=(3+3√5)/2(取正值).
由(1)在△AFG中,BC∥FG,
∴AB/BE=AC/CG.
∴AC=(AB•CG)/BF==(3+3√5)/2×2/3-3√5.
∴AG=AC+CG=3+√5.