如图,点O为正方形ABCD的中心,点E、F分别在DA、CD的延长线上,AE=DF,连BE、AF.（1）求证；BE⊥AF；（2）延长FA交BE于G,连OG,求∠OGF的度数；（3）在（2）中,若AE=√5,AB=2√5,求OG的长.

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/03 10:18:18

如图,点O为正方形ABCD的中心,点E、F分别在DA、CD的延长线上,AE=DF,连BE、AF.（1）求证；BE⊥AF；（2）延长FA交BE于G,连OG,求∠OGF的度数；（3）在（2）中,若AE=√5,AB=2√5,求OG的长.
如图,点O为正方形ABCD的中心,点E、F分别在DA、CD的延长线上,AE=DF,连BE、AF.
（1）求证；BE⊥AF；
（2）延长FA交BE于G,连OG,求∠OGF的度数；
（3）在（2）中,若AE=√5,AB=2√5,求OG的长.

如图,点O为正方形ABCD的中心,点E、F分别在DA、CD的延长线上,AE=DF,连BE、AF.（1）求证；BE⊥AF；（2）延长FA交BE于G,连OG,求∠OGF的度数；（3）在（2）中,若AE=√5,AB=2√5,求OG的长.
（1)过E做直线EN∥AF交DF延长线于N点.
∵EF∥AF,
∴Rt△ADF∽Rt△EDF
∴∠DAF=∠DEN
又∵AE=DF,AB=AD,∠EAB=∠ADF=90°
∴△BAE≌△ADF
∴∠AEB=∠AFD
∵∠BEN=∠BEA+∠DEN
∴∠BEN=∠DAF+∠DFA=90°
∴NE⊥BE,且NE∥AF
∴AF∥BE
（2）过O做OH⊥AB,垂足H,连接OH、OG
根据（1）可知,FG⊥BE,即∠FGB=90°
并且△BOA是直角等腰三角形,OH⊥AB
∴H是AB的中点
∴Rt△AGB中,GH=BH=AH
∴∠GHB=∠HBG
   ∠HGO=∠HOG
   ∠OBH=∠HOB=45°
∵△OHG中,∠OHG+2∠HGO=180°
∵∠OHG=2(∠OBH+∠HBG)
∴∠OBH+∠HBG+∠HGO=90°
∵FG⊥BE,
∴∠HBG+∠HGO+∠OGA=90°
∴∠HBG+∠HGO+∠OGA=∠OBH+∠HBG+∠HGO
∴∠OGA=∠OBH=45°
（3）用三角函数求OG长,假设OG长为X
∵在△AGO中,∠OGA=45°
且cos∠OGA=(AG²+X²-OA²)/2AG×X
∵AE=√5,AB=2√5
∴BE=5,AG=2,AO=√10
∴(4+X²-10)/4X=√2/2             （cos45°=√2/2)
∴X²-2√2X-6=0===》X²-2√2X+2-8=0===》(X-√2)²=8===》X-√2=2√2
∴X=3√2
∴OG长为3√2

（1)在RT△ABE和RT△ADF中
∵AE=DF AB=AD
∴△ABE≌△ADF
∴∠A1=∠B
∠A1=∠A2（对顶）
　∠A2+∠E＝90°
∴BE⊥FG（AF的延长线）即BE⊥AF
（2）连接OE 并在AF上取FH=EG得H点
在△OAE和△ODF中
AE=DF OA=OD ...

全部展开

（1)在RT△ABE和RT△ADF中
∵AE=DF AB=AD
∴△ABE≌△ADF
∴∠A1=∠B
∠A1=∠A2（对顶）
　∠A2+∠E＝90°
∴BE⊥FG（AF的延长线）即BE⊥AF
（2）连接OE 并在AF上取FH=EG得H点
在△OAE和△ODF中
AE=DF OA=OD ∠OAE=∠ODC（都是90+45）
∴△OAE≌△ODF
∴OE=OF ∠3=∠4
∵OA⊥OD ∴OE⊥OF
∴△EOF是等腰直角三角形
∴OG⊥OH（相当于随AE旋转了90）
∴△OGH也是等腰直角三角形
∴∠OGF=∠OHG=45°
（3）若AE=√5，AB=2√5，求OG的长。
在RT△AEG和RT△ABE中，
EG/AE=AE/BE （BE=√（AE²+AB²）=√（5+20）=5
∴EG=AE²/BE=5/5=1
又GA/AB=EG/AE
∴GA=AB*EG/AE =2√5*（1/ √5）=2
∴GH=GF-HF=（AF+AG）-HF=（BE+AG）-EG=（5+2）-1=6
∴OG=（√2）/2*HG=3√2

收起

(1)∵正方形ABCD　AE＝DF
　∴△AFD≌△BEA
∴∠EBA＝∠DAF
∵∠EAG＝∠DAF（对顶角）　　∠EAG+BAG＝90°　
∴∠EBA+BAG＝90°　
∴BE⊥AF
（2）∠OGF＝45°