正整数a,b,使15a+16b和16a-15b都是正整数的平方,求这两个平方数中较小的数能取到的值.

正整数a,b,使15a+16b和16a-15b都是正整数的平方,求这两个平方数中较小的数能取到的值.
正整数a,b,使15a+16b和16a-15b都是正整数的平方,求这两个平方数中较小的数能取到的值.

正整数a,b,使15a+16b和16a-15b都是正整数的平方,求这两个平方数中较小的数能取到的值.
假设16a-15b=n^2,则a=n^2+15t,b=n^2+16t(t∈Z)是使其成立的全部整数a,b.
于是存在t使得,15a+16b=31n^2+481t=m^2,从而31n^2≡m^2(mod481),由于481=37*13,于是又有31n^2≡m^2(mod37)及31n^2≡m^2(mod13),如果31n^2≡m^2≠0(mod37)或者31n^2≡m^2≠0(mod13),那么,由于勒让德符号(31|37)=(6|31)=(3|31)=-(1|3)=-1.(31|13)=(5|13)=(3|5)=-1,也就是说31n^2+481t将不可能是完全平方数.
必然地n及m均为481的倍数.因此所求较小的平方数为481^2=231361.