作业帮a>0,求证：根号下【a^+（1/a^)】 - 根号2>=a+(1/a)-2容易引起歧义的步骤我都用括号表示了,如中括号里面的全是根号里的算式,小括号里面表示的是a的平方分之一^代表平方
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/10 07:11:43
a>0,求证：根号下【a^+（1/a^)】 - 根号2>=a+(1/a)-2容易引起歧义的步骤我都用括号表示了,如中括号里面的全是根号里的算式,小括号里面表示的是a的平方分之一^代表平方
a>0,求证：根号下【a^+（1/a^)】 - 根号2>=a+(1/a)-2
容易引起歧义的步骤我都用括号表示了,如中括号里面的全是根号里的算式,小括号里面表示的是a的平方分之一
^代表平方
a>0,求证：根号下【a^+（1/a^)】 - 根号2>=a+(1/a)-2容易引起歧义的步骤我都用括号表示了,如中括号里面的全是根号里的算式,小括号里面表示的是a的平方分之一^代表平方
令x=a+1/a
则x²=a²+1/a²+2
所以即证明√(x²-2)-√2>=x-2
即证明√(x²-2)+2>=x+√2
即证明[√(x²-2)+2]²>=(x+√2)²
即证明(x²-2)+4√(x²-2)+4>=x²+2√2x+2
即证明4√(x²-2)>=2√2x
即证明2√(x²-2)>=√2x
即证明[2√(x²-2)]²>=(√2x)²
即证明4x²-8>=2x²
即证明x²>=4
因为a>0
所以x=a+1/a>=2√(a*1/a)=2
所以x²>=4成立
倒推回去
有√(a²+1/a²)-√2>=a+(1/a)-2
两边平方就行了
要证该结论，即证
a^ + (1/a^) -根号【2（a^ + (1/a^)）】+2>=a^ + (1/a^)+2+4-4a-4/a （两边平方）
即证
2 根号【2（a^ + (1/a^)）】<=- 4+4a+4/a (两边同减a^ + (1/a^)+2 )
即证
2（a^ + (1/a^)）<=(- 2+2a+2/a )^ ...
全部展开
要证该结论，即证
a^ + (1/a^) -根号【2（a^ + (1/a^)）】+2>=a^ + (1/a^)+2+4-4a-4/a （两边平方）
即证
2 根号【2（a^ + (1/a^)）】<=- 4+4a+4/a (两边同减a^ + (1/a^)+2 )
即证
2（a^ + (1/a^)）<=(- 2+2a+2/a )^ （两边除以2后平方）
即证
（a^ + (1/a^)）<=2(-1+a+1/a )^ （两边除以2）
即证
a^ + (1/a^)-4a-4/a+6>=0
即证
a^-4a+4 + (1/a^)-4/a+4 >=2
即
(a-2)^+(1/a-2)^>=2
利用基本不等式 a^+b^>=2ab
左边>=2（a-2)(1/a-2) 且当 （a-2)=(1/a-2)时等号成立 这时a=1或-1(舍去)
所以左边>=2恒成立
故原式得证
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