如图,矩形ABCD中,AB=3,AD=4,P为AD上一动点,PE垂直于AC,PF垂直于DB,当点P像向点D移动时,求证PE+加PF为定值!要快啊!
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/20 05:19:09
![如图,矩形ABCD中,AB=3,AD=4,P为AD上一动点,PE垂直于AC,PF垂直于DB,当点P像向点D移动时,求证PE+加PF为定值!要快啊!](/uploads/image/z/13393682-26-2.jpg?t=%E5%A6%82%E5%9B%BE%2C%E7%9F%A9%E5%BD%A2ABCD%E4%B8%AD%2CAB%3D3%2CAD%3D4%2CP%E4%B8%BAAD%E4%B8%8A%E4%B8%80%E5%8A%A8%E7%82%B9%2CPE%E5%9E%82%E7%9B%B4%E4%BA%8EAC%2CPF%E5%9E%82%E7%9B%B4%E4%BA%8EDB%2C%E5%BD%93%E7%82%B9P%E5%83%8F%E5%90%91%E7%82%B9D%E7%A7%BB%E5%8A%A8%E6%97%B6%2C%E6%B1%82%E8%AF%81PE%2B%E5%8A%A0PF%E4%B8%BA%E5%AE%9A%E5%80%BC%21%E8%A6%81%E5%BF%AB%E5%95%8A%21)
如图,矩形ABCD中,AB=3,AD=4,P为AD上一动点,PE垂直于AC,PF垂直于DB,当点P像向点D移动时,求证PE+加PF为定值!要快啊!
如图,矩形ABCD中,AB=3,AD=4,P为AD上一动点,PE垂直于AC,PF垂直于DB,当点P像向点D移动时,求证PE+加PF为
定值!要快啊!
如图,矩形ABCD中,AB=3,AD=4,P为AD上一动点,PE垂直于AC,PF垂直于DB,当点P像向点D移动时,求证PE+加PF为定值!要快啊!
设AC与BD相交于点O,连接OP
因为ABCD是矩形
所以三角形OAD的面积=1/4矩形ABCD的面积
OA=OD=1/2BD
角BAD=90度
由勾股定理得:
BD^2=AB^2+AD^2
因为AB=3 AD=4
所以BD=5
因为矩形ABCD的面积=AB*AD=3*4=12
所以三角形OAD的面积=3
OA=OD=5/2
因为三角形OAD的面积=三角形OAP的面积+三角形ODP的面积
因为PE垂直AC于E
PF垂直BD于F
所以三角形OAP的面积=1/2*OA*PE
三角形ODP的面积=1/2*OD*PF
所以1/2*(5/2)*(PE+PF)=3
所以PE+PF=12/5=2,4
因为2.4是定值
所以PE+PF是定值
由题,可证明三角形AEP相似于三角形ADC,所以PE/CD=AP/AC
三角形DFP相似于三角形DAB,所以PF/AB=DP/BD
因为:AB=DC,AC=BD,AP+DP=AD
所以PF/DC=(AD-AP)/AC=AD/AC-AP/AC=AD/AC-PE/CD
所以PF/DC+PE/DC=AD/AC
所以PF+PE=DC*AD/AC
因为DC,A...
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由题,可证明三角形AEP相似于三角形ADC,所以PE/CD=AP/AC
三角形DFP相似于三角形DAB,所以PF/AB=DP/BD
因为:AB=DC,AC=BD,AP+DP=AD
所以PF/DC=(AD-AP)/AC=AD/AC-AP/AC=AD/AC-PE/CD
所以PF/DC+PE/DC=AD/AC
所以PF+PE=DC*AD/AC
因为DC,AD,AC均为定值
所以PE+PF为定值
收起
设AC与BD交于G,连结PG
AG*PE/2+GD*PF/2=三角形ADG的面积=S
AG=GD=AC/2
所以: (PE+PF)*AC/4=S
PE+PF=4S/AC为定值
我换种证法. 过A做BD垂线交G,过P点做AG垂线交H.∠∵∴ HGFP是矩形, ∴HG=PF ∵△APH≌△PAE(角边角,图中大多直角三角形边长比均为3:4:5,都是相似的) ∴AH=PE ∴PF+PE=AG,它们长度即:矩形任意一点至对角线的距离,过1点有且仅有一条.固为定值.如果矩形边长为3,4,则其为2.4 欢迎追问.