作业帮在双曲线25分之x²-9分之y²=1上求一点,使它到直线L：x-y-3=0的距离最短,并求这个最短距离
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/26 06:37:31
在双曲线25分之x²-9分之y²=1上求一点,使它到直线L：x-y-3=0的距离最短,并求这个最短距离
在双曲线25分之x²-9分之y²=1上求一点,使它到直线L：x-y-3=0的距离最短,并求这个最短距离
在双曲线25分之x²-9分之y²=1上求一点,使它到直线L：x-y-3=0的距离最短,并求这个最短距离
答案：（25/4,9/4）,d=1/2^0.5
求
令（a,b）为双曲线上一点,则根据点到直线的距离公式,有所求距离
d=|a-b-3|/2^0.5
(注：点（m,n）到直线Ax+by+c=0的距离为
d=|Am+bn+c|/(A^2+B^2)^0.5)
又（a,b）为双曲线上一点,知
b=±3*[1/25*a^2-1]^0.5,代入d的表达式,得
d=|a±3*[1/25*a^2-1]^0.5-3|/2^0.5
令k=a±3*[1/25*a^2-1]^0.5-3,则d=|k|/2^0.5
原问题转化为求k的最大绝对值,只需求极值点和定义域端点的值.
【求极值点】
k对a求导,得k0=1±3/2*1/[1/25*x^2-1]^0.5*2/25*x,令k=0,化简得
1=±3/25*1/[1/25*x^2-1]^0.5*x,两边平方化简得
1=225/625*x^2/(x^2-25),化简求解得x=±25/4.
将x=±25/4代入b=±3*[1/25*a^2-1]^0.5得4点
（25/4,9/4）,d=1/2^0.5
（-25/4,9/4）,d=11.61/2^0.5
（25/4,-9/4）,d=5.6/2^0.5
（-25/4,-9/4）,d=7/2^0.5
其中d=|a-b-3]/2^0.5]
在加上端点(±5,0),d=2/2^0.5或8/2^0.5
易知,最短为（25/4,9/4）,d=1/2^0.5
多给点分吧,这么多
你可以先写出来这条直线的垂线吧?然后求 该条垂线与双曲线的交点