P是边长为4的正方形ABCD边BC上一点,过B作BG⊥AP于点G,过C作CE⊥AP与E,连BE.（1）如图11-①若P为BC的中点,求CE的长;（2）如图11-②当P在BC上运动时（不与B、C重合）,求（AG-CE）/BE的值（3）当PB=_______

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/10 11:26:46

P是边长为4的正方形ABCD边BC上一点,过B作BG⊥AP于点G,过C作CE⊥AP与E,连BE.（1）如图11-①若P为BC的中点,求CE的长;（2）如图11-②当P在BC上运动时（不与B、C重合）,求（AG-CE）/BE的值（3）当PB=_______
P是边长为4的正方形ABCD边BC上一点,过B作BG⊥AP于点G,过C作CE⊥AP与E,连BE.
（1）如图11-①若P为BC的中点,求CE的长;
（2）如图11-②当P在BC上运动时（不与B、C重合）,求（AG-CE）/BE的值
（3）当PB=_______时,△BCE为等腰三角形

P是边长为4的正方形ABCD边BC上一点,过B作BG⊥AP于点G,过C作CE⊥AP与E,连BE.（1）如图11-①若P为BC的中点,求CE的长;（2）如图11-②当P在BC上运动时（不与B、C重合）,求（AG-CE）/BE的值（3）当PB=_______
第一个问题：
由勾股定理,有：PA^2＝AB^2＋PB^2＝AB^2＋（BC/2）^2＝（3/2）AB^2,
∴PA＝√6AB/2＝2√6.
显然有：PA×BG＝AB×PB,
得：BG＝AB×PB/PA＝AB×（AB/2）/（2√6AB）＝AB/（4√6）＝√6/6.
第二个问题：
在AG上取一点F,使AF＝CE.
∵ABCD是正方形,∴∠BAF＋∠APB＝90°.∵CE⊥PE,∴∠BCE＋∠CPE＝90°.
而∠APB＝∠CPE,∴∠BAF＝∠BCE,又AB＝BC,AF＝CE,∴△ABF≌△BCE,
∴BF＝CE,∠ABF＝∠CBE.
由∠ABF＝∠CBE,∠ABC＝90°,得：∠EBF＝90°.
由∠EBF＝90°,BF＝CE,得∠BFG＝45°,而BG⊥FG,∴FG/BF＝√2,即FG/BE＝√2.
很明显,FG＝AG－AF＝AG－CE,
∴（AG－CE）/BE＝√2.
第三个问题：
∵CE⊥PE,∴∠BEC是钝角.
∵在三角形中若有钝角是时,只有一个且该角最大.∴∠BCE和∠CBE都不会与∠BEC相等,
∴当△BCE是等腰三角形时,只有是BE＝CE.
由第二个问题的证明中,可知,当BE＝CE时,有：AF＝BF.
∵BFG是以BF为斜边的等腰直角三角形,
∴容易求得：BG＝FG,且BF＝√2BG,∴AF＝√2BG.
∴BG/AG＝BG/（AF＋FG）＝BG/（√2BG＋BG）＝1/（√2＋1）＝√2－1.
由∠APB＝∠BPG,∠ABP＝∠BGP＝90°,得：△ABP≌△BGP,∴PB/AB＝BG/AG＝√2－1
∴PB＝（√2－1）AB＝4（√2－1）.
即：当PB＝4（√2－1）时,△BCE是等腰三角形.