作业帮已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间[-8,8]上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4=_____
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/30 19:20:56
![已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间[-8,8]上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4=_____](/uploads/image/z/1123629-69-9.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E5%AE%9A%E4%B9%89%E5%9C%A8R%E4%B8%8A%E7%9A%84%E5%A5%87%E5%87%BD%E6%95%B0f%28x%29%E6%BB%A1%E8%B6%B3f%28x-4%29%3D-f%28x%29%2C%E4%B8%94%E5%9C%A8%E5%8C%BA%E9%97%B4%5B0%2C2%5D%E4%B8%8A%E6%98%AF%E5%A2%9E%E5%87%BD%E6%95%B0%2C%E8%8B%A5%E6%96%B9%E7%A8%8Bf%28x%29%3Dm%28m%3E0%29%E5%9C%A8%E5%8C%BA%E9%97%B4%5B-8%2C8%5D%E4%B8%8A%E6%9C%89%E5%9B%9B%E4%B8%AA%E4%B8%8D%E5%90%8C%E7%9A%84%E6%A0%B9x1%2Cx2%2Cx3%2Cx4%2C%E5%88%99x1%2Bx2%2Bx3%2Bx4%3D_____)
已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间[-8,8]上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4=_____
已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间[-8,8]上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4=_____
已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间[-8,8]上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4=_____
奇函数
所以
f(x-4)=-f(x)=f(-x),换一个写法,就是f(x) =f(-4-x),这个公式告诉了,这个函数,关于x=-2这条直线对称.
思维倘若敏捷,想到这个对称,以及奇函数,可以猜测这个是一个周期函数,的确如此.
f(x-4)=-f(x),换一个写法,就
是f(x-4)+ f(x)=0
以及
f(x) + f(x+4)=0
这两个式子相减就可以消除f(x)
就是f(x-4) =f(x+4)
或者 f(x) = f(x+8)
所以这是一个周期为8的周期函数.
所以所求的区间（-8,8）是两个周期.
根据题意,所求的两个区间有4个根,那个在一个周期内就是两个根.
所以,函数关于x=-2直线对称,并且周期是8,
现在分析条件在区间（0,2）单调增.因为是奇函数,所以对于（-2,0）区间也是单调增.又因为关于x=-2对称,可以知道在区间（-4,-2）以及（-6,-4）单调减.
现在分析所求区间的各段增减情况
（-8,-6）增,（-6,-4）减,（-4,-2）减,（-2,0）增,（0,2）增,（2,4）减,（4,6）减,（6,8）增.
只要考虑长度为8的一个周期.以x=-2为对称,那就考虑（-6,2）,这个区间,这个区间应该只有两个根,并且两个根一个在增的分段,另一个在减的分段.这两个根和x=-2对称,所以这两个跟x1,x2之和 x1+x2=-4,
再考虑另外一个区间的根的情况.
分析（-6,2）这个区间,仔细想一下,可以发现两个情况,情况1,x1,x2 分别属于（-6,-4）,（0,2）段,根据周期8,以及对称,可以知道灵感两个跟x3,x4属于区间（2,4）,（-8,-6）段,这四个根都关于x=-2对称,此时四个根之和就是：
x1+x2+x3+x4=-4+（-4）=-8
情况2,x1,x2属于（-4,-2）,（-2,0）段,此时由于周期的原因,另外两个根x3,x4属于（4,6）,（6,8）,并且x1+8=x3,x2+8=x4,所以此时x1+x2+x3+x4=-4+8+8-4=8
综合两种情况
所求的解是8或者-8.
只有-8这一个答案