作业帮f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且f(x)+g(x)+f(x)g(x)=x^3+x^2+2x+1求f(x),g(x)的表达式
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/30 06:23:43
f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且f(x)+g(x)+f(x)g(x)=x^3+x^2+2x+1求f(x),g(x)的表达式
f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且f(x)+g(x)+f(x)g(x)=x^3+x^2+2x+1求f(x),g(x)的表达式
f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且f(x)+g(x)+f(x)g(x)=x^3+x^2+2x+1求f(x),g(x)的表达式
令k(x)=f(x)+g(x)+f(x)g(x),则
k(-x)=f(-x)+g(-x)+f(-x)g(-x)
=f(x)-g(x)-f(x)g(x)
故 k(x)+k(-x)=f(x)+g(x)+f(x)g(x)+f(x)-g(x)-f(x)g(x)
=2f(x)
即 2f(x)=k(x)+k(-x)
=（x^3+x^2+2x+1）+（(-x)^3+-(-x)^2+2*(-x)+1）
=2*（x^2+1）
得 f(x)=x^2+1
把f(x)=x^2+1代入f(x)+g(x)+f(x)g(x)=x^3+x^2+2x+1,解得
g(x)=x
因为f(x)为偶函数,所以f(x)<>-1,则有
g(x)(1+f(x))+f(x)=x^3+x^2+2x+1
即g(x)=((x^3+x^2+2x+1)-f(x))/(1+f(x)) (1式)
则有g(-x)=((-x^3+x^2-2x+1)-f(-x))/(1+f(-x))=((-x^3+x^2-2x+1)-f(x))/(1+f(x))
又因为g(x)为奇函...
全部展开
因为f(x)为偶函数,所以f(x)<>-1,则有
g(x)(1+f(x))+f(x)=x^3+x^2+2x+1
即g(x)=((x^3+x^2+2x+1)-f(x))/(1+f(x)) (1式)
则有g(-x)=((-x^3+x^2-2x+1)-f(-x))/(1+f(-x))=((-x^3+x^2-2x+1)-f(x))/(1+f(x))
又因为g(x)为奇函数,则有g(-x)=-g(x),有g(x)+g(-x)=0
所以:((x^3+x^2+2x+1)-f(x))/(1+f(x))+((-x^3+x^2-2x+1)-f(x))/(1+f(x))=(2x^2+2-2f(x))/(1+f(x))=0
即2f(x)=2x^2+2
有:f(x)=x^2+1
将f(x)=x^2+1代入(1式)得,g(x)=x
完毕!!
收起
f(x)=x^2+1
g(x)=x
解析：
已知：f(-x)=f(x) g(-x)=-g(x)
所以：
f(-x)+g(-x)+f(-x)g(-x)=-x^3+x^2-2x+1
即：
f(x)-g(x)-f(x)g(x)=-x^3+x^2-2x+1
两式相加得：
2f(x)=2x^2+2
所以：
f(x)=x^2+1
在代入f(x)+g(x)+f(x)g(x)=x^3+x^2+2x+1中
得出g(x)=x