已知抛物线y=ax2+bx+c经过点(1,2).提问:(1)若a=1,抛物线定点为A,它与x轴交与两点BC,且三角形ABC为等边三角形,求b的值.(2)若abc=4,且a>=b>=c,求|a|+|b|+|c|的最小值.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/23 14:20:33
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已知抛物线y=ax2+bx+c经过点(1,2).提问:(1)若a=1,抛物线定点为A,它与x轴交与两点BC,且三角形ABC为等边三角形,求b的值.(2)若abc=4,且a>=b>=c,求|a|+|b|+|c|的最小值.
已知抛物线y=ax2+bx+c经过点(1,2).
提问:(1)若a=1,抛物线定点为A,它与x轴交与两点BC,且三角形ABC为等边三角形,求b的值.(2)若abc=4,且a>=b>=c,求|a|+|b|+|c|的最小值.
已知抛物线y=ax2+bx+c经过点(1,2).提问:(1)若a=1,抛物线定点为A,它与x轴交与两点BC,且三角形ABC为等边三角形,求b的值.(2)若abc=4,且a>=b>=c,求|a|+|b|+|c|的最小值.
⑴由题意,a+b+c=2,∵a=1,∴b+c=1
抛物线顶点为A(-b2,c-b24)
设B(x1,0),C(x2,0),∵x1+x2=-b,x1x2=c,△=b2-4c>0
∴|BC|=| x1-x2|=| x1-x2|2=(x1+x2)2-4 x1x2=b2-4c
∵△ABC为等边三角形,∴b24 -c= 32b2-4c
即b2-4c=23•b2-4c,∵b2-4c>0,∴b2-4c=23
∵c=1-b,∴b2+4b-16=0,b=-2±25
所求b值为-2±25
⑵∵a≥b≥c,若a<0,则b<0,c<0,a+b+c<0,与a+b+c=2矛盾.
∴a>0.
∵b+c=2-a,bc=4a
∴b、c是一元二次方程x2-(2-a)x+4a=0的两实根.
∴△=(2-a)2-4×4a≥0,
∴a3-4a2+4a-16≥0,即(a2+4)(a-4)≥0,故a≥4.
∵abc>0,∴a、b、c为全大于0或一正二负.
①若a、b、c均大于0,∵a≥4,与a+b+c=2矛盾;
②若a、b、c为一正二负,则a>0,b<0,c<0,
则|a|+|b|+|c|=a-b-c=a-(2-a)=2a-2,
∵ a≥4,故2a-2≥6
当a=4,b=c=-1时,满足题设条件且使不等式等号成立.
故|a|+|b|+|c|的最小值为6.