设f(x)是定义在[-1,1]的偶函数,f(x)与g(x)的图像关于直线x-1=0对称,且当x属于[2,3]时,g(x)=a(x-2)-2(x-2)^3(a为常数) 若a属于(-6,6),问能否使f(x)的最大值为4.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/20 06:32:07
![设f(x)是定义在[-1,1]的偶函数,f(x)与g(x)的图像关于直线x-1=0对称,且当x属于[2,3]时,g(x)=a(x-2)-2(x-2)^3(a为常数) 若a属于(-6,6),问能否使f(x)的最大值为4.](/uploads/image/z/10138338-18-8.jpg?t=%E8%AE%BEf%28x%29%E6%98%AF%E5%AE%9A%E4%B9%89%E5%9C%A8%5B-1%2C1%5D%E7%9A%84%E5%81%B6%E5%87%BD%E6%95%B0%2Cf%28x%29%E4%B8%8Eg%28x%29%E7%9A%84%E5%9B%BE%E5%83%8F%E5%85%B3%E4%BA%8E%E7%9B%B4%E7%BA%BFx-1%3D0%E5%AF%B9%E7%A7%B0%2C%E4%B8%94%E5%BD%93x%E5%B1%9E%E4%BA%8E%5B2%2C3%5D%E6%97%B6%2Cg%28x%29%3Da%28x-2%29-2%28x-2%29%5E3%28a%E4%B8%BA%E5%B8%B8%E6%95%B0%29+%E8%8B%A5a%E5%B1%9E%E4%BA%8E%28-6%2C6%29%2C%E9%97%AE%E8%83%BD%E5%90%A6%E4%BD%BFf%28x%29%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%A4%A7%E5%80%BC%E4%B8%BA4.)
设f(x)是定义在[-1,1]的偶函数,f(x)与g(x)的图像关于直线x-1=0对称,且当x属于[2,3]时,g(x)=a(x-2)-2(x-2)^3(a为常数) 若a属于(-6,6),问能否使f(x)的最大值为4.
设f(x)是定义在[-1,1]的偶函数,f(x)与g(x)的图像关于直线x-1=0对称,且当x属于[2,3]时,g(x)=a(x-2)-2(x-2)^3(a为常数) 若a属于(-6,6),问能否使f(x)的最大值为4.
设f(x)是定义在[-1,1]的偶函数,f(x)与g(x)的图像关于直线x-1=0对称,且当x属于[2,3]时,g(x)=a(x-2)-2(x-2)^3(a为常数) 若a属于(-6,6),问能否使f(x)的最大值为4.
因为g(x)的图象与f(x)的图象关于直线x=1对称,
所以f(x)=g(2-x).
当x∈[-1,0]时,则2-x∈[2,3],
所以f(x)=g(2-x)=2a(2-x-2)-3(2-x-2)^3=-2ax+3x^3
即f(x)=-2ax+3x^3;
当x∈[0,1]时,根据偶函数关于y轴对称可得
f(x)=f(-x)=2ax-3x^3.
综上所述,当x∈[-1,0]时,f(x)=-2ax+3x^3;
当x∈[0,1]时,f(x)=f(-x)=2ax-3x^3.
当x∈[0,1]时,f(x)=f(-x)=2ax-3x^3,
其导数为2a-9x^2.
由2a-9x^2>0得x^21.
所以当x∈[0,1]时,2a-9x^2>0恒成立,即x∈[0,1]时f(x)增函数;
由对称性,知x∈[-1,0]时f(x)减函数;
可知函数最大值是f(1)或f(-1),所以
f(1)=2a-3=4,所以a=7/2属于(-6,6)