已知,在四边形ABCD中,AD‖BC,∠BAC=∠D,点E、F分别在BC、CD上,且∠AEF=∠ACD,如图1,AB=AC=BC,则AE与AF之间的数量关系是什么?如图2.AB=BC,1中结论是否发生变化?请证明.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/20 11:36:40
![已知,在四边形ABCD中,AD‖BC,∠BAC=∠D,点E、F分别在BC、CD上,且∠AEF=∠ACD,如图1,AB=AC=BC,则AE与AF之间的数量关系是什么?如图2.AB=BC,1中结论是否发生变化?请证明.](/uploads/image/z/10003409-17-9.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5%2C%E5%9C%A8%E5%9B%9B%E8%BE%B9%E5%BD%A2ABCD%E4%B8%AD%2CAD%E2%80%96BC%2C%E2%88%A0BAC%3D%E2%88%A0D%2C%E7%82%B9E%E3%80%81F%E5%88%86%E5%88%AB%E5%9C%A8BC%E3%80%81CD%E4%B8%8A%2C%E4%B8%94%E2%88%A0AEF%3D%E2%88%A0ACD%2C%E5%A6%82%E5%9B%BE1%2CAB%3DAC%3DBC%2C%E5%88%99AE%E4%B8%8EAF%E4%B9%8B%E9%97%B4%E7%9A%84%E6%95%B0%E9%87%8F%E5%85%B3%E7%B3%BB%E6%98%AF%E4%BB%80%E4%B9%88%3F%E5%A6%82%E5%9B%BE2.AB%3DBC%2C1%E4%B8%AD%E7%BB%93%E8%AE%BA%E6%98%AF%E5%90%A6%E5%8F%91%E7%94%9F%E5%8F%98%E5%8C%96%3F%E8%AF%B7%E8%AF%81%E6%98%8E.)
已知,在四边形ABCD中,AD‖BC,∠BAC=∠D,点E、F分别在BC、CD上,且∠AEF=∠ACD,如图1,AB=AC=BC,则AE与AF之间的数量关系是什么?如图2.AB=BC,1中结论是否发生变化?请证明.
已知,在四边形ABCD中,AD‖BC,∠BAC=∠D,点E、F分别在BC、CD上,且∠AEF=∠ACD,
如图1,AB=AC=BC,则AE与AF之间的数量关系是什么?
如图2.AB=BC,1中结论是否发生变化?请证明.
已知,在四边形ABCD中,AD‖BC,∠BAC=∠D,点E、F分别在BC、CD上,且∠AEF=∠ACD,如图1,AB=AC=BC,则AE与AF之间的数量关系是什么?如图2.AB=BC,1中结论是否发生变化?请证明.
(1)△ABC中,AB=BC=AC,所以△ABC为正三角形,
所以∠B=∠BAC=∠ACB=60
因为∠BAC=∠D,且∠DCB+∠D=180,所以∠DCB+∠B=180,所以AB//CD.
所以∠ACD=∠CAB=60.
因为∠AEF=∠ACD,所以∠AEF=60.
设AC和EF交于O,
△AOE和△FOC中,∠AEO=∠FCO,∠AOE=∠FOC,
所以△AOE∽△FOC.
所以AO/OC=FO/OE
在△AOF和△EOC中,AO/OC=FO/EO,且∠AOF=∠EOC,
所以△AOF∽△EOC.所以∠AFO=∠ECO
(或通过A,E,C,F四点共圆,证明两角相等)
因为∠OCE=60,所以∠AFO=60
△AEF中,∠AEF=∠AFE=60,所以△AEF为正三角形,所以AE=EF.
(2)同题(1)中证明,∠AFE=∠ACB (1)
因为AD//BC,所以∠D+∠ACD+∠ACB=180
△AEF中,∠EAF+∠AEF+∠AFE=180
已证明∠AFE=∠ACB,又因为已知∠AEF=∠ACD
所以,∠FAE=∠D
因为∠D=∠CAB,所以∠BAC=∠FAE (2)
因为AB=BC,所以∠BCA=∠BAC,
因为(1)(2),所以∠EAF=∠AFE
所以AE=EF.