一级结构工程师结构力学考点讲义：第二节

第二节 静定结构受力分析和特性　　一、静定结构的定义　　静定结构是没有多余约束的几何不变体系。在任意荷载作用下，其全部支座反力和内 力都可由静力平衡条件确定，即满足静力平衡条件的静定结构的反力和内力的解答是唯一 的。但必须指出，静定结构任意截面上的应力和应变却不能仅由静力平衡条件确定，还需要附加其他条件和假设才能求解。　　二、计算静定结构反力和内力的基本方法　　在静定结构的受力分析中不涉及结构材料的性质，将整个结构或结构中的任一杆件都 作为刚体看待。静定结构受力分析的基本方法有以下三种。　　(一)数解法　　将受力结构的整体及结构中的某个或某些隔离体作为计算对象，根据静力平衡条件建 立力系的平衡方程，再由平衡方程求解结构的支座反力和内力。　　(二)图解法　　静力平衡条件也可用力系图解法中的闭合力多边形和闭合索多边形来代替。其中闭合 力多边形相当于静力投影平衡方程，闭合索多边形相当于力矩平衡方程。据此即可用图解 法确定静定结构的支座反力和内力。　　(三)基于刚体系虚位移原理的方法　　受力处于平衡的刚体系，要求该力系在满足刚体系约束条件的微小的虚位移上所做的 虚功总和等于零。据此，如欲求静定结构上某约束力(反力或内力)时，可去除相应的约束， 使所得的机构沿该约束力方向产生微小的虚位移，然后由虚位移原理即可求出该约束力。　　三、直杆弯矩图的叠加法　　绘制线弹性结构中直杆段的弯矩图，采用直杆弯矩图的叠加法。直杆弯矩图的叠加法 可叙述为：任一直杆，如果已知两端的弯矩，则杆件的弯矩图等于在两端弯矩坐标的连线上再叠加将该杆作为简支梁在荷载作用下的弯矩图，如图2-1所示。作弯矩图时，弯矩值坐标绘在杆件受拉一边，弯矩图中不要标明正、负号。

(a) (b)

　　图2-1

　　四、直杆内力图的特征

　　在直杆中，根据荷载集度q，弯矩M、剪力V之间的微分关系dV/dx=q，dM/dx=V、d2M/dx2=q，可推出荷载与内力图的一些对应关系，这些对应关系构成了弯矩图与剪力图的形状特征(表2—1)。

　　表2—1

　　注意到截面上轴力与剪力是互相垂直的，只要根据剪力图的特征，并结合杆件上的荷载情况，就可得到轴力图的特征。熟悉掌握内力图的特征，便于绘制和校核内力图。

　　五、静定多跨梁

　　(一)静定多跨梁的组成

　　由中间铰将若干根单跨梁相连，并用若干支座与地基连接而成的静定梁，称为静定多跨梁。图2—2(a)、图2—3(a)所示为静定多跨梁的两种基本形式，也可由这两种基本形式组成混合形式。

　　图2—2(a)中的AB杆与基础组成的几何不变体能单独承受荷载，称为基本部分。而其余的CD、EF部分，则必须依靠基本部分才能保持为几何不变，称为附属部分。图11—2-2(b)为表示这种基本部分与附属部分关系的层叠图。

　图2-2　　图2—3(a)所示的梁，在竖向荷载作用下，AB、EF部分为基本部分，CD则为附属部分，其层叠图如图2—3(b)所示。　　图2-3　　静定多跨梁的支座反力数等于三个整体静力平衡方程数与连接杆件的单铰数之和。　　(二)静定多跨梁的计算　　因为作用在基本部分上的荷载对附属部分的内力不产生影响，而作用在附属部分上的荷载，对支撑它的基本部分要产生内力，因此，静定多跨梁的内力计算，一般可按以下步骤计算。　　1.区分基本部分和附属部分，绘出层叠图。　　2.根据层叠图，从最上层的附属部分开始，依次计算各单跨梁的支座反力井绘制内力图。在计算中要将附属部分的反力传至支撑它的基本部分。　　3.对反力和内力图进行校核。　　支座反力一般可根据静定多跨梁的整体平衡条件校核。弯矩图、剪力图一般可根据表2-1中M图与y图的形状特征进行校核，也可以从梁中截取任一隔离体由平衡条件校核。　　[例2-1] 求作图2-4(a)所示静定多跨梁的弯矩图和剪力图。图2-4　　[解] 层叠图如图2-4(b)所示。各附属部分、基本部分的计算过程如图2-4(c)所示。弯矩图和剪力图分别如图2-4(d)所示。其中剪力图的正、负号规定与材料力学中的规定相同。　　容易看出，当跨度和荷载均相同时，静定多跨梁的弯矩比简支梁的弯矩小，并且只要调整静定多跨梁中间铰的位置，就可使梁的各截面弯矩值的相对比值发生变化，这是静定多跨梁的优点。但由于中间铰的存在，构造就复杂一些。　　六、静定平面刚架　　部分结点或全部结点是刚性连接的结构称为刚架。各杆轴线、支座及荷载均在同一平面内的静定刚架称为静定平面刚架。　　静定平面刚架的内力计算，通常是先求出支座反力及铰接处的约束力，再由截面法求 出各杆端截面的内力，然后根据荷载情况及内力图的特征，逐杆绘制内力图。　　[例2-2] 绘制图2-5(a)所示刚架的弯矩、剪力、轴力图。　图2-5　　[解] (1)计算支座反力　　根据刚架的整体平衡条件，由　　ΣX=0，得HA=4qa;　　ΣMA=0，得VB=2qa;　　ΣY=0，得VA=2qa。　　(2)计算各杆端截面的弯矩、剪力、轴力。由截面法可得各杆端截面的内力值为：　　AC杆：MAC=0，MCA=16qa2(左侧受拉);VAC=4qa，VCA=—12qa;NAC=2qa，　　NCA=2qa(轴力以拉力为正)。　　BE杆：MBD=0，MDB=18qa2(右侧受拉);VBD=—1.2qa，VDB=8.4qa;NBD=—1.6qa，NDB=—8.8qa。　　CD杆：MCD=16qa2(上侧受拉)，MDC=24qa2(上侧受拉);VCD=—2qa，VDC=—2qa;　　NCD=—12qa，NDC=—12qa。　　(3)作弯矩、剪力、轴力图　　根据上述计算结果及各杆的荷载情况，应用直杆弯矩图的叠加法，并按照内力图的特 征，就可作出刚架的M、V、N图，分别如图2—5(b)、(c)、(d)所示。　　(4)校核　　为校核平衡条件，可任取刚架的某些局部为隔离体，如图2-5(e)所示的隔离体，满 足平面一般力系的三个平衡条件：　　ΣX=0;　　ΣM=0;　　ΣY=0。　　图2—5(f)所示结点D隔离体，满足平面一般力系的三个平衡条件：　　ΣX=0;　　ΣMD=0;　　ΣY=0。　　七、三铰拱和三铰刚架的内力计算　　图2—6(a)所示由曲杆组成的结构在竖向荷载作用下将产生水平反力，这种结构称为 拱形结构。而图2—6(b)所示的结构，在竖向荷载作用下其水平支座反力等于零，这种结 构称为曲梁。图2—6(c)所示为两个曲杆由三个不共线的铰与地基两两相连的三铰拱，它 是工程中常用的静定拱形结构，由于它的支座产生水平推力，基础应具有相应的抗力，故 有时做成图2—6(d)所示的拉杆拱，水平推力由拉杆来承担。

图2-6　　三铰拱由于存在水平推力，故拱轴截面中的弯矩比相同跨度相同荷载的简支梁的弯矩要小，使拱成为主要是承受压力的结构，可采用受压性能强而受拉性能差的材料建造。与简支梁相比，拱形结构可以跨越更大的跨度。　　三铰拱的有关术语表示在图2—6(c)中，工程中常用的矢跨比f/l=0.5～1，常用的拱轴方程有二次抛物线，圆弧线，悬链曲线等。　　(一)三铰平拱在竖向荷载作用下的支座反力及内力计算　　拱脚铰在同一水平线上的三铰拱称为三铰平拱。　　支座反力　　由图2—7(a)所示三铰拱的整体平衡条件及顶铰C处弯矩为零的条件，可得支座反力的计算公式为　　VA=VA0 (2—1)　　VB=VB0 (2—2)　　HA=HB=H=MC0 /f (2—3)　　式中VA0、VB0、MC0分别为与三铰拱相同跨度、相同荷载简支梁(简称为三铰拱的代 梁，图2—7b)支座A、B处的支座反力及截面C的弯矩。　　式(2—3)表明，在给定的竖向荷载作用下，三铰拱的水平推力只与三个铰的位置有关，而与拱轴线的形状无关。当荷载与拱跨不变时，推力H与矢高f成反比，f愈大即拱愈高时H愈小，f愈小即拱愈平时H愈大。若f=0，则H为无穷大，这时三铰已共线，体系为瞬变体系。　　取图2—7c所示的隔离体，并由隔离体的平衡条件，可得任意截面D的弯矩、剪力、轴力计算公式为　　MD=MD0—HyD (2—4)　　VD=VD0cosφD-HsinφD (2—5)　　ND=VD0sinφD+HcosφD (2—6)　　式中MD、VD、ND的正方向如图2—7c所示，MD0、VD0为代梁D截面的弯矩、剪力，yD、φD的含意如图2—7a所示。在图示坐标系中，φD在左半拱内为正，在右半拱内为负。　　三铰拱的内力计算，除上述数解法外，还可用图解法进行，可通过绘制三铰拱的力多 边形及压力线(索多边形)来确定其内力。图2-7　　(二)三铰拱的合理拱轴　　在某种固定荷载作用下，拱的所有截面的弯矩均为零的轴线称为合理拱轴。图2-8　　三铰拱在竖向荷载作用下合理拱轴的一般表达式，可根据合理拱轴的定义，令式 (2—4)等于零，得合理拱轴方程为　　y=M0/H (2—7)　　图2—8a所示三铰拱承受满跨均布荷载q作用，其具体的合理拱轴方程可按式(2-7)推导如下：　　按图2—8a所示坐标系，将代梁(图2—8b)的弯矩方程　　M0=qx(l-x)/2　　及拱的水平推力　　H=MC0/f=ql2/8f　　代人式(2—7)得拱的合理拱轴方程为　　y=4fx(l-x)/l2 (2—8)　　顺便指出，三铰拱在满跨填料重量作用下的合理拱轴为悬链曲线;在径向均布荷载作用下的合理拱轴为圆弧线。　　(三)三铰刚架的内力计算　　分析图2—9a所示的三铰刚架，绘制其弯矩、剪力、轴力图。　　1.计算支座反力　　计算三铰刚架的支座反力与三铰拱是类似的，除了应用三个整体平衡条件外，还需要利用铰C处弯矩等于零的条件。经计算得　　HA=1.33qa;VA=24qa　　HB=13.33qa;VB=46qa　　2.计算各杆端截面内力并绘制内力图　　支座反力求出后，各杆端截面内力计算及各内力图的绘制方法，与前述简支刚架的方 法都是相同的，得出的M、V、N图，分别如图2-9b、c、d所示。　( d )　　图2-9八、静定平面桁架　　(一)理想平面桁架的假定及其按几何组成的分类。　　理想桁架应满足下面三个假定：1.各结点均为无摩擦的理想铰;2.各杆件轴线均为 直杆，且各通过铰的几何中心;3.荷载都作用在结点上。如图2—l0a、b、c所示平面桁架均为理想桁架。　　符合上述假定的理想桁架的各杆只承受轴向力，横截面上只产生均匀的法向应力，与梁相比，受力合理，用料经济，自重较轻，可跨越较大的跨度。　　不符合上述假定的桁架，在杆件中会产生弯曲次应力，理论分析和实验表明，当桁架的杆件比较细长时，这种次应力与由轴力引起的应力相比所占比例不大。　　桁架按其几何组成可分为：　　简单桁架——从仅由三根杆件组成的三角形铰接单元出发，根据两元片规则，逐次扩展形成的桁架，如图2-10a所示。　　联合桁架——由两个或两个以上的简单桁架联合组成的桁架，如图2-10b所示。　　复杂桁架——不属于上述两类的桁架，如图2-10c所示。　　桁架的有关术语表示在图2-10a中。(c )　　图2-10　　(二)平面桁架的内力计算　　1.节点法　　取桁架的节点为隔离体，由平面汇交力系的平衡条件求解各杆内力的方法。从理论上讲，任何静定平面桁架都可利用节点法求出全部杆件的内力，但为了避免求解联立方程，在每次截取的节点上不应超过两个未知内力。在简单桁架中，只要按两元片规则，循着各节点形成的顺序或相反的顺序，逐次应用节点法，在每个结点的平衡方程中，最多不会超过两个未知力。　　在计算中，有时可利用下面几种节点平衡的特殊情况。　　(1)两杆节点上无荷载，两杆内力均为零(图2—11a);　　(2)三杆节点上无荷载，其中在同一直线上的两杆内力相等而方向相反，另一杆内力为零(图2—11b);　　(3)四杆节点上无荷载，且四杆相交成两直线，则处在同一直线上的两杆内力相等，但方向相反(图2—11c);　　(4)四杆节点上无荷载，其中两杆共线而另两杆处于此线的同侧且倾角相同，则处于共线杆同侧的两杆内力等值而反向(图2—11d)。图2-11　　应用上述识别零杆的方法，容易看出图2—12a所示桁架中虚线所示的各杆均为零杆。　　图2—12b、c分别为对称桁架承受对称荷载和反对称荷载作用。根据对称结构在对称荷载(或反对称荷载)作用下，其内力为对称(或反对称)的特点，再根据上述识别零杆的方法，可知图中虚线所示的杆件为零杆。　[解]　　(1)求支座反力　　由整体平衡条件，得VA=80kN，HA=0，VB=100kN。　　(2)求桁架各杆轴力　　从只含两个未知力的节点A(或节点B)开始，再依次分析邻近节点。　　节点A(图2—13b)，设未知轴力为拉力，并采用NA2的水平分力XA2或竖向分力YA2作为未知数，则由　　ΣY=0，得YA2=-VA=—80kN　　再由式(2—9)得　　XA2=-60kN　　NA2=—100kN　　再由ΣX=0，得NAl=60kN　　节点1(图2—13c)，由该节点的平衡条件可得N14=60kN(拉力)，N12=40kN(拉力)。　　依次再考虑节点2、3、4、5、6、7，每—结点不超过两个未知力。至最后节点B时，各杆轴力均为已知，可据此节点是否满足平衡条件作为内力计算的校核。各杆轴力计算的结果标注在图2—13a上，拉力为正，压力为负。　　2.截面法　　截取包含两个节点以上的隔离体，利用平面一般力系的平衡条件求解各杆轴力的方法。截面法中的一个隔离体，一般只能求解三个未知内力，但如果在一个截面中，除一杆外，其余各杆均相交于一点或相互平行，则该杆轴力仍可在该隔离体中求出。　　[例2-4] 用截面法求图2—14a所示桁架中a、b、c、d、e各杆的内力。　　[解]　　(1)求支座反力　　由桁架的整体平衡条件得VA=VB=1.5P，HA=0。　　(2)求Na、Nb　　作截面I—I，取图2—14b所示隔离体，由ΣY=0，得Na=—0.5P(压力);由ΣM2=0，得Nb=2.25P(拉力)。　　(3)求NC　　在结间34内作竖向截面，取右隔离体，由ΣY=0，得YC=0.5P，即NC=0.625P(拉力)。　　(4)求Nd、Ne。　　作截面Ⅱ—Ⅱ，取图2—14c所示隔离体，由ΣMk=0，得Nd=0.25P(拉力)。再由ΣM4=0，得Ne=—2.37P(压力)。　图2-15　　对于图2—15a所示的桁架，求出支座反力后，再根据其几何组成关系，可知EDCB与E'D'C'A两部分之间，由三根不相交于一点的链杆AE、BE'、CC'相连，故可通过该三杆作截面取图2—15b所示隔离体，由力矩平衡方程先求出NEA(或NBE'或NCC')，进而再求其他各杆轴力。　　3.节点法与截面法的联合应用　　在桁架内力计算中，有时联合应用节点法和截面法，可使计算得到简化。图2-16　　如拟求图2—16所示桁架斜杆轴力N1，求出支座反力后，可先由节点C的ΣX=0，得N1与N1'的第一关系式。再用截面法，由I—I截面一侧隔离体的ΣY=0，得N1与N1'的第二关系式。联立求解两个关系式就可求出Nl。　　九、静定组合结构由轴力杆和受弯杆组成的结构称为组合结构。　　计算组合结构内力时，应注意区分轴力杆和受弯杆。在隔离体上，轴力杆的截面上只有轴力，受弯杆的截面上，一般有弯矩、剪力和轴力。　　[例2-5] 求作图2—17a所示组合结构的弯矩、剪力、轴力图。图2-17　　[解] 此组合结构中，除AC、BC杆为受弯杆件外，其余均为轴力杆。　　(1)求支座反力　　由整体平衡条件，得VA=VB=75kN，HA=0。　　(2)通过铰C作I—I截面，由该截面左边隔离体的平衡条件ΣMc=0，得NDE=135kN(拉力);由ΣY=0，Qc=—15kN;由ΣX=0，得NC=—135kN(压力)。　　(3)分别由结点D、E的平衡条件，得NDA=NEB=151kN(拉力)，NDF=NEG=67.5kN(压力)。　　(4)根据铰C处的剪力Qc及轴力Nc，并按直杆弯矩图的叠加法就可绘出受弯杆AFC、BGC的弯矩图。　　(5)M、Q、N图分别如图2—17b、c、d所示。　　十、静定结构的特性　　各种形式的静定结构，具有下述五点共同的特性。　　(一)满足静力平衡条件的静定结构的反力和内力解答是唯一的。　　(二)温度改变、支座位移、构件制造误差、材料收缩等因素，在静定结构中均不引起反力和内力。　　(三)平衡力系作用在静定结构的某一内部几何不变部分时，只在该几何不变部分产生反力和内力，在其余部分都不产生反力和内力。图2-18　　如在图2—18a所示简支梁的内部几何不变部分CD上作用一平衡力系，只在CD部分产生弯矩和剪力，而在AC、BD部分不产生反力和内力。又如在图2—18b所示静定桁架的内部几何不变部分CDE上作用一平衡力系，只在CDE部分的三杆内产生内力，而其余各杆内力及支座反力均等于零。　　(四)静定结构的某一内部几何不变部分上的荷载作等效变换时，只有该部分的内力产生变化，而其余部分的反力和内力均保持不变。图2-19　　例如在图2—19a所示的内部几何不变部分内将荷载作等效变换(图2—19b)，则只有在CD部分内的内力(如弯矩)有变化，而其余部分AC、DB内的反力和内力均不发生变化。　　(五)静定结构的一个内部几何不变部分作构造上的局部改变时，只有该部分的内力发生变化，而其余部分的反力和内力均保持不变。　　如图2—20a中的CD杆变换成图2—20b中的小桁架CD，而作用的荷载及端部C、D的约束性质不变，则在作这种构造的局部改变后，只对CD部分的内力发生变化，其余部分的反力和内力均保持不变。结构工程师考试